자연계열 2-1번

<가>함수 $\displaystyle f(x)$가 에서 그것의 테일러급수의 합과 같다고 하자. 즉,$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\&=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots.\end{aligned}$여기서 $\displaystyle f^{(0)}(a)=f(a),\ f^{(1)}(a)=f^{\prime}(a),\ f^{(2)}(a)=f^{\prime\prime}(a),\ f^{(3)}(a)=f^{\prime\prime\prime}(a)\cdots$이다. 이 급수의 부분합인 $\displaystyle n$차 다항식$\displaystyle T_n(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$을 $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle n$차 테일러다항식이라고 부른다. 이 때,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n(x)=f(x)$이고,$\displaystyle T_n(x)$를 $\displaystyle f(x)$의 근사(approximation)로 사용할 수 있다.

함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle f(x)$의 일차 테일러다항식$\displaystyle T_1(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$는$\displaystyle x-a$에서 순간변화율이 같기 때문에 $\displaystyle x=a$근방에서 $\displaystyle f(x)$의 일차함수 근사 중 가장 좋은 것은 $\displaystyle f(x)$의 일차 테일러다항식이다. 다른 관점에서 $\displaystyle f(x)$의 일차함수 근사를 영역의 넓이 등의 기준에서 생각해 볼 수 있다. 예를 들어, $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간에 $\displaystyle [0,t]\ (t>0)$서 $\displaystyle f^{(n)}(x)\ (n=1,2,3,\cdots)$가 존재하고Correction. 제시문 <가>의 “$\displaystyle x-a$에서 순간변화율이 같기 때문에”는 “$\displaystyle x=a$에서 순간변화율이 같기 때문에”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.① $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$ 라고 했을 때,곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=T_1(x)$, $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=t$로 둘러싸인 영역의 넓이가 최소가 되게 하는 ② $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle a\ (0\le a\le t)$를 찾는 문제이다.

③ 한편 테일러다항식 $\displaystyle T_n(x)$는 차수 $\displaystyle n$이 커질수록 더 많은 항을 갖기 때문에 더 좋은 근사가 되는 것처럼 보인다. 예를 들어 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle e^x$는 $\displaystyle x=0$에서 다음의 테일러급수의 합과 같다.$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots$이 경우에 처음 세 개의 테일러 다항식$\displaystyle T_1(x)=1+x,\quad T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2!},\quad T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}$을 보면 $\displaystyle T_2(x)$는 $\displaystyle T_1(x)$보다, $\displaystyle T_3(x)$는 $\displaystyle T_2(x)$보다 $\displaystyle e^x$에 더 좋은 근사임을 알 수 있다. 그러나 어떤 함수의 경우에는, 그것의 테일러다항식이 그 차수가 크다고 반드시 더 좋은 근사가 되는 것은 아니다.