자연계열 2-1번

답안 예시 2-1a : 제시문 (가)의 $\displaystyle S_n$을 구하는 계산에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\overline{PV_1}^{\,2}+\overline{P\phantom{V}_2}^{\,2}+\cdots+\overline{PV_n}^{\,2}\\&=n(x^2+y^2)-(2x)\sum_{i=1}^na_i-(2y)\sum_{i=1}^nb_i+\sum_{i=1}^n(a_i^2+b_i^2)\end{aligned}$이다. 점 $\displaystyle P(x,y)$에서 원점까지의 거리를 $\displaystyle k$라고 하면, $\displaystyle x^2+y^2=k^2$이고, 점들 $\displaystyle V_1(a_1,b_1),V_2(a_2,b_2),\cdots,V_n(a_n,b_n)$이 중심이 $\displaystyle (0,0)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원 위에 있으므로 $\displaystyle a_i^2+b_i^2=r^2\ (1\le i\le n)$이다. 또한 제시문 <가>의 (1)에 의하여$\displaystyle \sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^nb_i=0$이다. 따라서$\displaystyle S_n=n(k^2+r^2)$이다.

답안 예시 2-1b : 원 $\displaystyle C_1$의 반지름을 $\displaystyle r_1$이라 하면, 원점에서 원 $\displaystyle C_1$의 중심까지의 거리가 $\displaystyle \sqrt2r_1$이므로 $\displaystyle r_1+\sqrt2r_1=1$(<그림 A> 참조), 즉$\displaystyle r_1=\frac1{1+\sqrt2}=\sqrt2-1$이다. 네 개의 원 $\displaystyle C_1,C_2,C_3,C_4$는 같은 반지름을 가지므로, 각 원의 반지름은 $\displaystyle \sqrt2-1$이다. 점 $\displaystyle P(x,y)$에서 원 $\displaystyle C_i$의 중심까지의 거리를 $\displaystyle k_i$라 하자. 원 $\displaystyle C_i$의 중심을 원점으로 이동시킨 후 답안 2-1a를 적용하면, $\displaystyle P(x,y)$의 $\displaystyle C_i$둘레를 $\displaystyle n$등분하는 점들까지의 거리의 제곱들의 합은$\displaystyle S_{ni}=n\left(k_i^2+(\sqrt2-1)^2\right)$이다(<그림 B> 참조). 한편$\displaystyle \begin{aligned}k_1^2&=(x-(\sqrt2-1))^2+(y-(\sqrt2-1))^2=k^2-2(\sqrt2-1)(x+y)+2(\sqrt2-1)^2,\\k_2^2&=(x+(\sqrt2-1))^2+(y-(\sqrt2-1))^2=k^2-2(\sqrt2-1)(-x+y)+2(\sqrt2-1)^2,\\k_3^2&=(x-(\sqrt2-1))^2+(y+(\sqrt2-1))^2=k^2-2(\sqrt2-1)(x-y)+2(\sqrt2-1)^2,\\k_4^2&=(x+(\sqrt2-1))^2+(y+(\sqrt2-1))^2=k^2-2(\sqrt2-1)(-x-y)+2(\sqrt2-1)^2\end{aligned}$Correction. 그림에서 $\displaystyle C_3$, $\displaystyle C_4$의 중심 위치를 따르면, 거리 제곱을 나타낸 두 식의 $\displaystyle k_3^2$와 $\displaystyle k_4^2$는 서로 바뀌어 적힌 것이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.이고 $\displaystyle k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2=4(k^2+2(\sqrt2-1)^2)$이므로 답은$\displaystyle S_{n1}+S_{n2}+S_{n3}+S_{n4}=n(4k^2+12(\sqrt2-1)^2)=n(4k^2+36-24\sqrt2)$이다.