숙명여대 2014학년도 수시 자연계열 2-1번 해설

<가>S씨는 10여 년 전 몸에 이상을 느껴 병원을 찾아갔다. 당시 의사는 증상을 듣고 암이 의심된다며 새로 개발된 암 진단검사를 제안하였다. 이 검사의 경우 암에 걸렸을 때 양성반응이 나올 가능성은 $\displaystyle 90\%$ 이고 정상일 때(암에 걸리지 않았을 때) 양성반응이 나올 가능성은 $\displaystyle 10\%$ 라고 한다. 검사 결과, 양성으로 판정되었고 이에 S씨는 충격을 받았지만, 의사는 “S씨 연령의 여성이 암에 걸릴 가능성은 $\displaystyle 1\%$ 이고 검사 정확도가 $\displaystyle 90\%$ 이므로 설령 검사에서 양성으로 나왔더라도 진짜 암에 걸렸을 확률은 $\displaystyle 8\%$ 정도밖에 안 되니 너무 걱정하지 말고 추가 정밀검사를 해봅시다.”라고 했다. 여러 검사를 한 결과 다행히 암이 아닌 것으로 판정됐다.

S씨의 사례에서 중요한 것은 ‘양성반응이 나왔을 때 암일 확률’이며, 이 확률은 ‘ $\displaystyle P(\text{암}\mid\text{양성})$ ’으로 표시한다. 양성반응이 나올 확률을 $\displaystyle P(\text{양성})$ , 암일 확률을 $\displaystyle P(\text{암})$ 이라 할 때, $\displaystyle P(\text{암}\mid\text{양성})=\frac{P(\text{암}\cap\text{양성})}{P(\text{양성})}$ 이 된다. 여기에서 $\displaystyle P(\text{암}\cap\text{양성})$ 은 암이면서 양성반응이 나올 확률이다. 위의 식을 이용하면, $\displaystyle P(\text{양성})P(\text{암}\mid\text{양성})=P(\text{암}\cap\text{양성})=P(\text{양성}\cap\text{암})=P(\text{암})P(\text{양성}\mid\text{암})$ 인 것을 알 수 있으며, 이는 아래의 식으로 변형될 수 있다. $\displaystyle P(\text{암}\mid\text{양성})=\frac{P(\text{암})P(\text{양성}\mid\text{암})}{P(\text{양성})}$

여기서 $\displaystyle P(\text{양성}\mid\text{암})$ 은 ‘암일 때 양성반응이 나올 확률’로 검사의 정확도인 $\displaystyle 90\%$ 이다. 결국 S씨가 검사결과에 충격을 받은 건 $\displaystyle P(\text{양성}\mid\text{암})$ 과 $\displaystyle P(\text{암}\mid\text{양성})$ 을 동일시했기 때문이다. 한편 $\displaystyle P(\text{암})$ 은 암일 확률이므로 $\displaystyle 0.01$ 이다. 암이면서 양성반응이 나올 수 있고, 정상이면서 양성반응이 나올 수 있으므로, 양성반응이 나올 확률은 $\displaystyle 10.8\%$ , 즉 $\displaystyle 0.108$ 이 된다. 따라서 $\displaystyle P(\text{암}\mid\text{양성})=\frac{0.01\times0.9}{0.108}\simeq0.083$ 이다. 즉 검사에서 양성반응이 나왔을 때 암일 확률은 약 $\displaystyle 8.3\%$ 가 된다.

2-1.a 최근 S씨는 비슷한 증상이 있어 이번에도 예전 병원의 그 의사를 찾아갔다. 의사의 말에 의하면, S씨 연령의 여성이 암에 걸릴 확률은 $\displaystyle 2\%$ 이고, 지난 10년 사이 진단기술의 발달로, 암에 걸렸을 때 양성반응이 나올 확률은 $\displaystyle 98\%$ 이다. 이 검사에서 양성반응이 나왔을 때 암일 확률이 $\displaystyle 40\%$ 이상이라고 한다면 정상일 때 양성반응이 나올 확률의 최댓값이 얼마인지를 논리적으로 유도하시오.

2-1.b 현재 S씨와 동일한 연령의 여성이 암에 걸릴 확률은 $\displaystyle 2\%$ 이다. S씨보다 나이가 한 살 증가할 때마다 암에 걸릴 확률이 $\displaystyle 0.2\%$ 포인트씩 증가한다고 가정하자. 만약 진단검사에서 암일 때 양성반응이 나올 확률이 $\displaystyle 99\%$ , 정상일 때 양성반응이 나올 확률은 $\displaystyle 0.99\%$ 라고 한다면, 검사결과가 양성반응이 나왔을 때 암일 확률이 $\displaystyle 80/99$ 보다 크게 되는 최소 연령은 현재 S씨 연령보다 얼마나 많은지(단위: 년)를 논리적으로 유도하시오(단, 최종 답은 정수로 쓰시오).

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■ 논제 2-1(1) 답안 구성 요소

○ 문항 (2-1.a)

문제 2-1.a에 대한 풀이에는 아래의 세 과정이 논리적으로 기술되어야 한다.

1) 제시문에서 언급한 것과 같이 $\displaystyle \begin{aligned}P(\text{양성})&=P(\text{암}\cap\text{양성})+P(\text{정상}\cap\text{양성})\\&=P(\text{암})P(\text{양성}\mid\text{암})+P(\text{정상})P(\text{양성}\mid\text{정상})\\&=0.02\times0.98+0.98\times p\end{aligned}$ 의 내용이 있어야 하며

2) 발문의 내용이 다음의 식과 같이 표시될 수 있음을 보여야 하고 $\displaystyle P(\text{암}\mid\text{양성})=\frac{0.02\times0.98}{0.02\times0.98+0.98\times p}\ge0.4$

3) 위의 식으로부터 $\displaystyle \frac{0.02}{0.02+p}\ge\frac4{10}\quad\Rightarrow\quad0.2\ge0.08+4\times p\quad\Rightarrow\quad0.12\ge4\times p\quad\Rightarrow\quad0.03\ge p$ 를 유도하고 정상일 때 양성반응이 나올 가능성의 최대 확률은 0.03 또는 3%가 되어야 함을 언급해야 한다.

◯ 문항 (2-1.b)

문항 2-1.b의 풀이에서는 다음과 같이 두 부분이 내용이 논리적으로 언급되어 있어야 한다.

1) $\displaystyle c$ 를 위의 조건을 만족하는 연령의 암 발생 확률이라고 할 때 S씨의 현재 연령이 $\displaystyle a$ 이고 위 조건을 만족하는 연령을 $\displaystyle x$ 라고 하면, 문제에서 요구하는 값은 다음과 같이 표시될 수 있다. $\displaystyle c=0.002(x-a)+0.02\text{ 또는 }c=0.002y+0.02$ 여기서 $\displaystyle y=x-a$ 로 문제에서 알아보려고 하는 값이다.

2) 발문의 내용이 아래의 부등식으로 표시될 수 있음을 보이고 $\displaystyle \frac{c\times0.99}{c\times0.99+(1-c)\times0.0099}>\frac{80}{99}$ 위 부등식의 왼쪽 식은 $\displaystyle \frac{c\times0.99}{c\times0.99+(1-c)\times0.0099}=\frac c{c+(1-c)\times0.01}=\frac c{0.99\times c+0.01}$ 가 된다. 분모를 부등식 오른쪽으로 넘기면 다음과 같은 식이 되는데 $\displaystyle c>0.8c+0.01\times\frac{80}{99}\quad\Rightarrow\quad0.2c>0.00808$ 결국 $\displaystyle c>0.0404$ 가 된다. $\displaystyle c=0.002y+0.02$ 이므로 $\displaystyle 0.002y+0.02>0.0404\quad\Rightarrow\quad0.002y>0.0204\quad\Rightarrow\quad y>\frac{0.0204}{0.002}=10.2$ Comment. 근삿값을 쓰지 않고 계산하면 정확한 경계는 $\displaystyle y>\frac{1010}{99}=10.202020\cdots$ 이다. 따라서 정수 $\displaystyle y$ 의 최솟값은 원문과 같은 $\displaystyle 11$ 이다.가 되므로 S씨보다 11살 많아야 한다(11년)는 것을 언급해야 한다.

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