자연계열 3번

(아) 어떤 물리량은 실험시작 이후 경과시간에 따라 그 값이 변한다고 알려져 있다. 두 변수 경과시간과 물리량 사이에 어떠한 함수적인 관계가 존재할지 모른다고 판단한 철수는 매 시간 물리량을 측정하여 다음과 같은 측정결과를 얻었다.

(자) <그림 4>에서 관측값들의 순서쌍이 어떤 직선을 중심으로 분포해 있다고 판단한 철수는 두 변수 사이의 관계를 다음과 같은 일차함수로 모형화하기로 하였다($\displaystyle x$: 경과시간, $\displaystyle y$: 물리량).$\displaystyle y=ax+b$　(1)<그림 4>에서 볼 수 있듯이 5개의 관측값들이 모두 일직선상에 위치한 것은 아니다. 따라서 두 변수 사이의 관계를 가장 잘 나타낼 수 있는 직선의 식을 어떻게 결정할 것인지, 즉 식 (1)의 계수 $\displaystyle a,b$를 어떻게 결정할 것인지와 같은 문제가 발생하게 된다. 이를 위해 철수는 물리량을 측정할 때마다 발생할 수 있는 오차를 고려하여 식 (1)의 모형에서 $\displaystyle i$번째 경과시간($\displaystyle x_i$)과 물리량($\displaystyle y_i$) 사이의 관계를 다음과 같이 표현하기로 하였다.$\displaystyle y_i=ax_i+b+\epsilon_i,\quad i=1,2,\cdots,5.$　(2)여기서 $\displaystyle \epsilon_i$는 $\displaystyle i$번째 측정결과에서의 오차를 나타내며 <그림 4>에서 { 으로 표시된 부분을 의미한다.

<그림 4>

(차) 두 변수 사이에 식 (1)의 모형을 가정할 때 계수 $\displaystyle a,b$를 결정하기 위해 가장 많이 사용되고 있는 방법이 최소제곱법(method of least squares)이다. 최소제곱법은 오차를 고려한 식 (2)에서 오차 제곱항들의 합, 즉$\displaystyle \sum_{i=1}^n\epsilon_i^2=\sum_{i=1}^n(y_i-ax_i-b)^2$을 최소로 하는 $\displaystyle a,b$를 구하는 방법이다. 여기서 $\displaystyle n$은 관측값들의 개수이다. 이 때 $\displaystyle a,b$는 다음의 두 연립방정식의 해로 구할 수 있다.$\displaystyle \sum_{i=1}^n(y_i-ax_i-b)=0$$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i(y_i-ax_i-b)=0$

(카) 두 변수 사이에 식 (1)의 모형을 가정하는 것이 과연 타당하다고 할 수 있는지를 검토하기 위해 흔히 사용되고 있는 지표로 결정계수(coefficient of determination)가 있다. 결정계수 $\displaystyle R^2$는$\displaystyle R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^n(y_i-ax_i-b)^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}$,　여기서 $\displaystyle \bar y=\frac1n\sum_{i=1}^n y_i$으로 정의되며 항상 0과 1사이의 값을 갖는다. 일반적으로 <그림 4>에서 관측값을 나타내는 점들이 어떤 직선 주위에 밀집해서 분포하면 결정계수 $\displaystyle R^2$의 값은 1에 가까워지며 이 때 식 (1)의 모형은 타당하다고 할 수 있다.

(타) 흔히 ‘과학 기만행위’라고 하면 데이터의 완전한 날조를 뜻하는 것으로 생각한다. 그러나 그런 종류의 조작은 아주 드물다. 과학 데이터를 조작하는 사람들은 기존의 결과를 개량하는 좀 더 사소한 범죄에서 출발하는 경우가 많으며, 이러한 시도는 대개 성공한다. 사소하고 얼핏 보면 대수롭지 않은 데이터 변조의 사례들, 즉 결과를 실제보다 조금 더 분명하게 만들고 결정적으로 보이게 하거나, 맞지 않은 사례들을 버리고 ‘최고의’ 데이터만을 선별해서 발표하는 등은 실제 과학에서 흔히 볼 수 있는 일이다.“진실을 배반하는 과학자들” 중에서