자연계열 1번

(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac2{x^2}+\frac6{x^3}$이므로 $\displaystyle (2,f(2))$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(2)=1-\frac2{2^2}+\frac6{2^3}=\frac54$이다.

(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x^2-a)$이다.i) $\displaystyle a\le0$인 경우: $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 극값을 가지지 않는다.ii) $\displaystyle a>0$인 경우: $\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x-\sqrt a)(x+\sqrt a)=0$은 두 실근 $\displaystyle x=\pm\sqrt a$를 갖는다. $\displaystyle x=\pm\sqrt a$의 전후에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 조사하면 다음을 알 수 있다.극댓값은 $\displaystyle f(-\sqrt a)=2a\sqrt a+b=36$　…… ①극솟값은 $\displaystyle f(\sqrt a)=-2a\sqrt a+b=4$　…… ②①, ②에서 $\displaystyle a=4$, $\displaystyle b=20$이다.

(3) 연간주문비용$\displaystyle =\frac DQ\times S$이고 연간재고유지비용$\displaystyle =\left(\frac Q2\right)^2\times H$이므로, 이 두 곡선의 그래프를 도해하면 아래 그림과 같다. 연간 총비용 곡선의 그래프는 이 두 비용 곡선의 합으로 나타낼 수 있다.

(4) 총비용 $\displaystyle (TC)=\frac DQ S+\frac{Q^2}4H$이고 $\displaystyle TC^{\prime}=\frac{-DS}{Q^2}+\frac{QH}2=0$이므로, $\displaystyle Q^*=\sqrt[3]{\frac{2DS}H}$이다. 주어진 조건에서 제시된 값을 대입하면 $\displaystyle Q^*=\sqrt[3]{\frac{2\times15000\times320000}{1200}}=200$이며, 이 때 총비용 $\displaystyle TC^*=\frac{15000}{200}\times320000+\frac{(200)^2}4\times1200=36,000,000$이다.

(5) 연간 총 주문횟수는 $\displaystyle \frac D{Q^*}=\frac{15000}{200}=75$이다. 일 년에 75번 주문하는 것이 최적이므로 $\displaystyle \frac{365}{75}$일, 즉 5일 마다 주문해야 한다(소수 첫째 자리에서 반올림). 따라서 다음 재고 보충 시점은 1월 1일로부터 5일 후인 1월 6일이 된다. 조달기간 2일을 감안하면 1월 4일에 주문해야 한다.