자연계열 1번

(가) 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x=a$ 근방에서 미분가능할 때 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(a)$는 $\displaystyle y=f(x)$가 나타내는 곡선 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$에서 접선의 기울기와 같다. <그림 1>과 같이 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 극값을 가지면, $\displaystyle a$를 포함하는 충분히 작은 개구간에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x=a$의 전후에서 부호가 변한다. (단, 여기서 일부구간에서 상수인 함수는 생각하지 않는다.)

<그림 1> 미분가능한 함수의 극값

이때, 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 연속이면 중간값정리에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이다. 역으로 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$일 때 $\displaystyle x=a$의 전후에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 변하면 다음을 알 수 있다.

미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이라고 하자. $\displaystyle x$가 증가하면서 $\displaystyle a$를 지날 때,(a) $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 양에서 음으로 변하면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 극댓값을 갖는다.(b) $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 음에서 양으로 변하면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 극솟값을 갖는다.

한편, $\displaystyle f(x)=x^n$ ($\displaystyle n$은 정수)일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=nx^{n-1}$ ($\displaystyle x\ne0$)과 같다.

(나) 기업을 운영하기 위해서는 다양한 종류와 유형의 자재가 필요하다. 예를 들어, 자동차 회사는 자동차를 생산하기 위해 수많은 부품을 협력업체로부터 조달해야 한다. 기업은 필요한 자재를 한꺼번에 많이 주문하여 재고량을 많이 비축할 수도 있고, 반대로 필요할 때마다 자주 주문할 수도 있다. 전자의 경우 과다 재고를 유지하는데 비용이 많이 드는 문제가 있고, 후자의 경우 빈번한 주문에 소요되는 부대 경비가 부담이 된다. 따라서 기업은 총비용을 최소화하기 위한 재고관리 및 주문정책을 수립할 필요가 있다. 기업에서 필요한 자재를 어느 주기로 얼마만큼씩 주문할 것인가를 결정하기 위한 가장 단순한 방법으로 경제적 주문량(EOQ: Economic Order Quantity)이라는 개념이 있다. 경제적 주문량이란 연간 소요되는 주문비용과 재고유지비용의 합을 최소화하는 1회의 주문량을 말한다. 주문비용에는 구매주문서 준비비용, 판매처와의 통신비용, 기록관리비용, 물품 수령 및 확인비용 등이 포함된다. 재고유지비용은 공간 및 운송수단 사용 및 유지비용, 물품 보관 및 취급 비용, 기록관리 및 유지비용, 투자된 자본의 비용 등이 포함된다.

(다) ‘A 기업’에서는 전문가의 자문을 받아 다음과 같은 가정에 따라 ‘B 자재’의 경제적 주문량을 결정하기로 하였다.

1) ‘B 자재’에 대한 수요량과 사용률은 일정하며, 사전에 알려져 있다.2) ‘B 자재’의 단위당 구입 가격은 주문량($\displaystyle Q$)에 관계없이 일정하다.3) ‘B 자재’의 주문량($\displaystyle Q$)은 0 이상의 실수 값을 갖는다.4) ‘B 자재’의 1회 주문비용은 주문량에 관계없이 일정하다.5) ‘B 자재’의 재고유지비용은 평균재고량의 제곱에 비례한다.6) ‘B 자재’의 조달기간($\displaystyle L$)은 일정하며 주문량($\displaystyle Q$)은 일시에 전량 입고된다.7) ‘B 자재’의 재고부족 현상이 발생하지 않는다.

위와 같은 가정을 따라 ‘B 자재’의 경제적 주문량을 결정하게 되면, <그림 2>와 같은 패턴으로 재고가 관리된다. 이렇게 하면 ‘B 자재’의 재고부족 현상을 방지하기 위해서 보유 재고량이 재주문점($\displaystyle R$) 이하가 되는 시점에 $\displaystyle Q$를 주문하고, 자재를 공급업체로부터 인도받는데 걸리는 시간인 조달기간($\displaystyle L$)이 지나서 $\displaystyle Q$가 전량 입고된다.

<그림 2> EOQ 모형의 재고관리 패턴

이 때 평균재고량은 $\displaystyle \frac Q2$이며, 연간 총비용은 연간주문비용과 연간재고유지비용의 합으로 구할 수 있다. 연간주문비용과 연간재고유지비용은 다음 식과 같이 표현할 수 있다.연간주문비용 = 연간주문회수 × 회당주문비 = $\displaystyle \frac DQ\times S$　(1)연간재고유지비용 = (평균재고량)² × (재고유지비용상수) = $\displaystyle \left(\frac Q2\right)^2\times H$　(2)여기서, $\displaystyle D$는 주문 품목에 대한 연간 수요량,$\displaystyle S$는 한 번 주문할 때마다 발생하는 주문비용,$\displaystyle Q$는 1회 주문량,$\displaystyle H$는 재고유지비용 상수를 나타내며, $\displaystyle Q$를 제외한 $\displaystyle D$, $\displaystyle S$, $\displaystyle H$는 주어진 값이다.

- 지난 3년간 ‘B 자재’의 사용량을 분석하고 향후 수요량 증가를 고려하여 연간 수요량을 15,000으로 추정함- 1회 주문 당 발생하는 주문비용은 데이터 수집 및 분석을 통해 320,000으로 결정함- 단위당 재고유지비용 상수는 직접적인 재고유지비용과 자산비용을 고려하여 1,200으로 산정함