자연계열 3번

(1) 이차함수 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$를 미분하면 $\displaystyle y^{\prime}=2ax+b$이고, 이차함수의 그래프 위의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle t,-t$인 점에서 접선의 기울기가 각각 $\displaystyle p,-q$이므로$\displaystyle p=2at+b,\ -q=-2at+b$이다. 따라서$\displaystyle a=\frac{p+q}{4t},\ b=\frac{p-q}{2}$이다.

또한, 이차함수의 그래프 위의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle t$인 점에서의 접선이 $\displaystyle y=px$이므로$\displaystyle pt=at^2+bt+c$이다. 따라서$\displaystyle c=\frac{p+q}{4}t$이다.

(2) $\displaystyle y=\frac{p+q}{4t}x^2+\frac{p-q}{2}x+\frac{p+q}{4}t$이다. 이를 변형하면$\displaystyle y=\frac{p+q}{4t}\left(x+\frac{p-q}{p+q}t\right)^2+\frac{pq}{p+q}t$를 얻는다.

따라서 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표 $\displaystyle (x,y)$는$\displaystyle \left(\frac{-p+q}{p+q}t,\frac{pq}{p+q}t\right)$이다.

(3) 두 직선 $\displaystyle y=px$와 $\displaystyle y=-qx$가 서로 수직이면, $\displaystyle pq=1$이다.

$\displaystyle p,q>0$이므로 산술기하평균의 성질에 의해$\displaystyle p+q\ge2\sqrt{pq}=2$이다. 따라서 이차함수의 그래프에서 꼭짓점의 $\displaystyle y$좌표는 부등식 $\displaystyle \frac{pq}{p+q}t\le\frac12t$를 만족한다.

$\displaystyle p=q=1$일 때, 두 직선 $\displaystyle y=px$와 $\displaystyle y=-qx$는 서로 수직이며, $\displaystyle \frac{pq}{p+q}t=\frac12t$이다. 따라서 최댓값은$\displaystyle \frac12t$이다.