자연계열 1번

1-1. 원주율 $\displaystyle \pi$는 주어진 반원의 호의 길이와 반지름과의 비율을 말한다. 주어진 각에 해당하는 반지름 1인 부채꼴의 호의 길이를 각도로 정의할 수 있는데, 이때의 단위를 라디안(radian)이라고 부른다.

위 그림에서 주어진 세 개의 도형(삼각형 OAB, 부채꼴 OAB, 삼각형 OAD)의 면적을 비교해 보면 삼각함수와 관련된 중요한 극한중의 하나인 $\displaystyle \lim_{\theta \to 0} {\frac{{\sin \theta}}{\theta}} = 1$을 유도할 수 있다 (단, $\displaystyle \theta$의 단위는 라디안).

1-2. 구간 $\displaystyle \left[ a , b \right]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f \left( x \right)$가 $\displaystyle \left( a , b \right)$에서 미분가능하면$\displaystyle \frac{{f \left( b \right) - f \left( a \right)}}{b - a} = f^{\prime} \left( c \right)$를 만족하는 $\displaystyle c \in \left( a , b \right)$가 적어도 하나 존재한다. 평균값의 정리라 불리는 이 정리는 미분가능한 함수의 다양한 성질을 유도하는데 중요한 역할을 한다.

1-3. 함수의 볼록성에 대한 엄밀한 수학적 정의는 다음과 같다. $\displaystyle f \left( x \right)$는 구간 $\displaystyle \left[ a , b \right]$에서 정의된 함수이다. 임의의 $\displaystyle p , q , r \in \left[ a , b \right]$ ($\displaystyle p < q < r$)에 대해, 점 $\displaystyle \left( q , f \left( q \right) \right)$ 이 두 점 $\displaystyle \left( p , f \left( p \right) \right) , \left( r , f \left( r \right) \right)$ 을 잇는 선분에 포함되거나 그 아래 (또는 위)에 있을 때 $\displaystyle f \left( x \right)$는 $\displaystyle \left[ a , b \right]$에서 아래로 (또는 위로) 볼록이라고 부른다.

1-4. 구간 $\displaystyle \left[ a , b \right]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f \left( x \right)$에 대하여 다음의 극한$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n} f \left( a + k \Delta x \right) \Delta x} \left( \Delta x = \frac{{b - a}}{n} \right)$이 존재할 때, $\displaystyle f \left( x \right)$는 $\displaystyle \left[ a , b \right]$ 에서 적분가능하다고 하고, 그 때의 극한을 $\displaystyle f \left( x \right)$의 정적분이라고 부른다. 일반적으로 $\displaystyle f \left( x \right)$가 연속함수이면 적분가능하다는 것은 잘 알려진 사실이다.TMI. 제시문 1-4의 극한식은 연속함수의 정적분을 계산할 때 사용할 수 있다. 일반 함수에서는 이 특정 분할합의 극한이 존재한다는 것만으로 리만 적분가능성이 보장되지는 않는다.

1-5. 시소의 양끝에 질량이 $\displaystyle m_{1}$ 과 $\displaystyle m_{2}$ 인 두 사람이 앉아 있고, 중심으로부터 거리는 각각 $\displaystyle d_{1}$, $\displaystyle d_{2}$이다. 시소가 한쪽으로 기울지 않고 평형이 되려면 $\displaystyle m_{1} d_{1} = m_{2} d_{2}$를 만족하여야 한다(단, 시소의 질량은 무시한다). 이를 지렛대의 법칙이라고 부른다.

1-6. 평면 위에 면적이 $\displaystyle A$인 도형이 있다. 도형을 지나지 않는 직선 $\displaystyle l$을 축으로 도형을 360도 회전시켰을 때 생기는 입체의 부피는 면적 $\displaystyle A$와 도형의 중심이 움직인 거리 $\displaystyle d$의 곱이다. 이를 파푸스의 정리라 부른다. 여기서 도형의 중심이란 밀도가 일정하다고 가정하였을 때 도형의 질량 중심을 말한다.