자연계열 A 1번

[문제 1]

$\displaystyle S$는 실수 전체의 집합 $\displaystyle \text{R}$의 부분 집합이다. 임의의 구간 $\displaystyle ( a , b )$가 $\displaystyle S$의 원소를 적어도 한 개 포함하면, “$\displaystyle S$는 조밀하다”고 한다. 예를 들어, 유리수 전체의 집합은 조밀하다. 왜냐하면, 임의의 구간 $\displaystyle ( a , b )$에 대하여 $\displaystyle \frac{{1}}{n} < b - a$를 만족하는 충분히 큰 자연수 $\displaystyle n$을 생각하면, 구간 $\displaystyle ( a , b )$는 적당한 유리수 $\displaystyle \frac{{m}}{n}$을 반드시 포함하기 때문이다(아래 그림 참조). 그러나 정수 전체의 집합은 조밀하지 않다.

또한 $\displaystyle S$가 조밀하면 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x$로 수렴하는 $\displaystyle S$의 원소들로 이루어진 수열을 만들 수가 있다.

위의 내용을 바탕으로, 덧셈과 곱셈 연산에 닫혀 있는 집합 $\displaystyle S = \left\{ m + n \sqrt{2} | m , n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \cdots \right\}$에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(a) $\displaystyle \sqrt{3}$은 $\displaystyle S$에 포함되지 않음을 보여라.

(b) $\displaystyle S$는 절댓값이 1보다 작은 원소를 무수히 많이 가지고 있음을 보여라.

(c) $\displaystyle S$는 조밀하다는 것을 보여라.

(d) $\displaystyle \text{R}$에서 정의된 연속 함수 $\displaystyle f ( x )$가$\displaystyle f ( m + n \sqrt{2} ) = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$를 만족할 때($\displaystyle m , n$은 임의의 정수), $\displaystyle f ( \sqrt{3} )$의 값을 추정하고 그 근거를 제시하여라.