자연계열 1번

(가) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle n!$은 $\displaystyle n$이하의 모든 자연수의 곱으로 정의한다. 즉,$\displaystyle n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$이며 $\displaystyle 0!=1$로 정의한다.

자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle 0\leq k\leq n$에 대하여, 이항계수 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}$는 $\displaystyle n$개의 사물 중 $\displaystyle k$개의 사물을 선택하는 방법의 수로 정의하며, 다음의 식으로 주어진다.$\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}$

(나) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, 등식 $\displaystyle x+y+z=n$의 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\displaystyle (x,y,z)$의 개수를 $\displaystyle a_n$이라 하자.

(다) 3명의 학생(ㄱ, ㄴ, ㄷ)이 똑같이 9천원씩 내고 식당에서 식사를 하였다. 그 식당에는 다양한 종류의 김밥, 라면, 음료수가 있었고, 세 학생은 각각 김밥, 라면, 음료수를 모두 주문했으며, 각자의 취향에 따라 학생들이 선택한 김밥, 라면, 음료수는 서로 달랐다.

학생들이 각자 고른 김밥의 가격은 모두 달랐지만, 세 학생이 먹은 김밥 값의 합은 9천원이었으며, 라면의 가격도 다 다르되 그 합은 9천원, 음료수의 가격도 다 다르되 그 합은 9천원이었다. 학생들이 고른 음식 중에서 가장 비싼 것은 ㄱ학생의 라면이었다. ㄴ학생의 김밥 값은 ㄴ이 고른 라면 값의 두 배였다. 단, 돈은 천원 단위이고 모두 자연수이다.