의예과 1번

(가) 평면이나 공간에서 영벡터가 아닌 두 벡터 $\displaystyle \vec{a},\ \vec{b}$가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$일 때 두 벡터의 내적은 $\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$로 정의된다. 이를 벡터의 성분을 이용하여 나타내면 평면벡터의 경우 $\displaystyle \vec{a}=(a_1,a_2)$, $\displaystyle \vec{b}=(b_1,b_2)$일 때 $\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$이고, 공간벡터의 경우 $\displaystyle \vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\displaystyle \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$일 때 $\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$이다.

(나) 평면 위의 한 점 $\displaystyle F$와 점 $\displaystyle F$를 지나지 않는 직선 $\displaystyle l$이 주어져 있을 때, 점 $\displaystyle F$와 직선 $\displaystyle l$로부터 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다. 이 때 점 $\displaystyle F$를 포물선의 초점, 직선 $\displaystyle l$을 포물선의 준선이라고 한다.

초점이 $\displaystyle F(p,0)$이고 준선이 $\displaystyle x=-p$ (단, $\displaystyle p>0$)인 포물선의 그래프는 아래의 그림과 같고 그 방정식은 $\displaystyle y^2=4px$이다.

(다) 일차변환 $\displaystyle f:(x,y)\longrightarrow(x^{\prime},y^{\prime})$이$\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=ax+by\\y^{\prime}=cx+dy\end{cases}$ (단, $\displaystyle a,b,c,d$는 상수)로 주어질 때, 이 식을 행렬로 나타내면 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$이다.

이때 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$를 일차변환 $\displaystyle f$를 나타내는 행렬 또는 일차변환 $\displaystyle f$의 행렬이라고 한다. 원점을 중심으로 각의 크기 $\displaystyle \theta$만큼 회전하는 회전변환의 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$로 표현되며, 원점을 중심으로 하는 닮음비가 $\displaystyle k$인 닮음변환의 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle x$축에 대한 대칭변환의 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$이다. 그리고 두 일차변환 $\displaystyle f,g$의 행렬을 각각 $\displaystyle A,B$라고 할 때, 합성변환 $\displaystyle g\circ f$의 행렬은 $\displaystyle BA$이다.