자연계열 1번

(가) 해안선에서 대략 10 km 떨어진 곳에 정박 중인 유조선이 해상 크레인선과 충돌하면서 원유 1만 톤이 바다로 유출되는 사고가 발생했다고 하자. 유출된 원유는 바람과 해류를 타고 해안선으로 이동하고 있다. 유출된 원유가 해안가에 도달하여 축적될 경우 막대한 경제적 손실을 입게 된다. 따라서 유출된 원유의 이동상황을 예측할 수 있다면, 효과적으로 방재작업을 할 수 있어 단기 피해를 줄일 수 있을 것이다.

(나) 조류와 풍향, 풍속 등이 시시각각으로 변화하고 있어 유출된 기름이 확산되는 것을 정확히 예측하는 것은 어려우나, 기름의 이동에 영향을 주는 여러 가지 요소들을 단순화하여 아래와 같은 수학적 모델을 만들 수 있다. 사고 발생 후 $\displaystyle a$ 시간이 경과했을 때, 오른쪽 그림과 같이 해안선으로부터 $\displaystyle x$ km 이내의 영역에 퍼져있는 원유의 총량을 $\displaystyle F(x)$라 하자. (단, $\displaystyle a$는 양의 실수임.) 사고 발생 $\displaystyle a$ 시간 후 유출된 원유 1만 톤은 해안선으로부터 $\displaystyle 9\sim10$ km 사이에 퍼져있다고 하자. 즉, $\displaystyle 0\leq x<9$ 일 때 $\displaystyle F(x)=0$ 이고, $\displaystyle x\geq10$ 일 때 $\displaystyle F(x)=1$만톤이 된다. 함수 $\displaystyle F(x)$가 $\displaystyle x>0$에서 미분가능하다고 가정하고, $\displaystyle f_1(x)=\frac{d}{dx}F(x)\quad(x>0),\ f_1(0)=0$, 그리고 $\displaystyle f_2,f_3,\cdots$은 다음과 같이 정의한다.

㉠ $\displaystyle f_{n+1}(x)=\frac45 f_n(x)+\frac15 f_n(x+1)\quad(x\geq0)\quad n=1,2,3,\cdots$이 때, $\displaystyle \int_0^x f_n(s)\,ds$는 사고 발생 후 $\displaystyle a\times n$ 시간 경과했을 때, 해안선으로부터 $\displaystyle x$ km 이내의 영역에 퍼져있는 원유의 총량을 나타낸다. 그리고 사고 발생 후 $\displaystyle a\times n$ 시간 경과했을 때, 해안가에 축적된 원유의 총량을 $\displaystyle S_n$이라 하고 이를 다음과 같이 표현한다.㉡ $\displaystyle S_1=0,\quad S_{n+1}=S_n+\frac15\int_0^1 f_n(x)\,dx\quad(n=1,2,3,\cdots)$.이 모델에 따르면 $\displaystyle a=0.5$일 때, 사고 발생 5시간 후 기름이 해안가에서 처음 발견될 것으로 예상된다.Comment. 정의된 축적량 $\displaystyle S_n$을 기준으로 하면 $\displaystyle S_{10}=0$, $\displaystyle S_{11}>0$이므로 $\displaystyle a=0.5$일 때 해안가에 원유가 처음 축적되는 시점은 $\displaystyle 5.5$시간 후이다. $\displaystyle 5$시간 후에는 원유가 해안선으로부터 $\displaystyle 1$km 이내의 구간에 도달한다.

(다) 방재 대책본부는 사고 발생 16시간 후부터 12시간동안 방재작업에 투입할 수 있는 자원봉사자 천명을 긴급히 확보하였다. 자원봉사자가 방재작업에 한 번 투입되면 연속하여 4시간동안 방재작업을 한 후 귀가시키기로 하였다. 그리고 환경오염을 고려하여 기름이 해안가에 도달하는 즉시 처리하는 것을 원칙으로 하였다.