자연계열 1번

[문제 1] 다음 제시문를 읽고 아래 질문에 답하시오.

[1-1] 점 $\displaystyle P$가 원 $\displaystyle C$ 위의 임의의 한 점이라고 할 때, 연산 $\displaystyle \oplus$에 대하여 $\displaystyle P$의 항등원과 역원을 나타내는 점은 어떠한 점인지 각각 설명하시오. (5점)

[1-2] 원 $\displaystyle C$ 위의 점으로 이루어진 수열 $\displaystyle \{P_n\}$이 $\displaystyle P_0,\ P_1,\ P_n=P_{n-1}\oplus P_{n-2}$ (단, $\displaystyle n=2,3,4,\cdots$)로 정의된다.

(a) $\displaystyle P_0=A$이고, $\displaystyle P_1$은 $\displaystyle l(P_1)=\frac\pi3$인 원 $\displaystyle C$ 위의 점일 때, $\displaystyle P_n=A$를 만족하는 자연수 $\displaystyle n$의 최소값을 구하시오. (5점)

(b) $\displaystyle k$가 임의의 자연수이고, $\displaystyle P_0=A$이며, $\displaystyle P_1$은 $\displaystyle l(P_1)=\frac{2\pi}{k}$인 원 $\displaystyle C$ 위의 점일 때, $\displaystyle P_n=A$를 만족하는 자연수 $\displaystyle n$의 최소값을 구하는 방법에 대하여 논하시오. (15점)

[1-3] 원 $\displaystyle C$ 위의 서로 다른 네 점 $\displaystyle P_1,P_2,Q_1,Q_2$가 관계식 $\displaystyle P_1\oplus P_2=Q_1\oplus Q_2$를 만족한다면, 두 점 $\displaystyle P_1$과 $\displaystyle P_2$를 지나는 직선과 두 점 $\displaystyle Q_1$과 $\displaystyle Q_2$를 지나는 직선이 평행임을 논리적으로 설명하시오. (15점)