자연계열 1번

※ 계산과정이나 논리적 설명 없이 답만 쓴 경우는 0점 처리 합니다.

〔문제 1〕 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[1-1] 갑은 을에게 $\displaystyle A(t),B(t),C(t)$를 각각 알려 주었다. 을은 이 정보만으로 도형 F의 넓이 $\displaystyle S(t)$를 알아내었다. 을의 해결 방법을 설명하고, $\displaystyle S(t)$와 $\displaystyle A(t),B(t),C(t)$ 사이의 관계식을 구하시오. [10점]

[1-2] 갑은 을에게 시각 $\displaystyle t\ (0\leq t\leq1)$에서 $\displaystyle B(t)$와 $\displaystyle A(t)=C(t)=0$임을 알려주었다. 또한, 도형 F 위에 항상 존재하는 점 $\displaystyle P$의 좌표 $\displaystyle P(f(t),g(t),0)$도 알려 주었다. 그리고 $\displaystyle f(t)$와 $\displaystyle g(t)$는 구간 $\displaystyle 0\leq t\leq1$에서 증가함수이고, 미분 가능하며, 또한 이들의 도함수가 연속이라는 조건을 알려주었다. 을은 $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=1$까지 도형 F가 만든 입체도형의 부피를 정적분으로 표현할 수 있었다. 그 이유를 설명하고, 입체도형의 부피를 적분변수 $\displaystyle t$를 사용한 정적분으로 나타내시오. [15점]

[1-3] 갑은 시각 $\displaystyle t\ (1\leq t\leq2)$에서 $\displaystyle A(t),B(t),C(t)$ 각각을 모두 알고 있으나, 을에게는 이들의 합인 함수 $\displaystyle G(t)=A(t)+B(t)+C(t)$만을 알려주었다. 또한 이 구간에서 도형 F의 넓이 $\displaystyle S(t)$가 변하지 않았다는 정보도 알려주었다. 을은 이 두 가지 정보를 사용하여 어떤 조건하에서는 $\displaystyle S(t)$를 정확하게 구할 수 있었다. 을은 먼저 함수 $\displaystyle G(t)$의 최대값 $\displaystyle M$과 최소값 $\displaystyle m$ 사이의 관계식을 구하였다. 을이 구한 이 관계식을 구하고, 이로부터 F의 넓이 $\displaystyle S(t)$를 구하는 방법을 설명하시오. [15점]