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자연계열 1번

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연세대 신촌캠퍼스 2011학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2011mo/jayeon_1

배점60점
예상 소요 시간미공개

문제

※ 계산과정이나 논리적 설명 없이 답만 쓴 경우는 0점 처리합니다. 시험시간은 120분이며, 연필 또는 흑색 필기구만 사용하십시오.

[ 문제 1 ] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

실수의 집합과 무한한 직선 위의 점들의 집합은 일대일 대응이라 배웠다. 실수 0에 대응되는 임의의 기준점 o\displaystyle o와 그 우측에 실수 1이 대응되는 다른 어떤 점 e\displaystyle e를 정하고 선분 oe‾\displaystyle \overline{oe}의 길이를 단위거리로 하면 임의의 양의 실수 a\displaystyle a는 기준점 o\displaystyle o의 우측에 있고 거리가 a\displaystyle a인 점에 대응되고, 임의의 음의 실수 a\displaystyle a는 기준점 o\displaystyle o의 좌측에 있고 거리가 −a\displaystyle -a인 점에 대응한 무한한 한 직선을 실선이라고 부르자. 그러면 실수 간의 덧셈과 곱셈에 해당되는 연산을 실선 위의 점들 간에도 정의할 수 있을 것이다.

(가) R\displaystyle R 은 실수 0에 대응되는 기준점이 o\displaystyle o이고 실수 1이 대응되는 점이 e\displaystyle e인 실선이다.S\displaystyle S 는 실선 R\displaystyle R 과 같은 평면에 놓여 있고, R\displaystyle R 과 일치하지 않으며 평행인 보조 직선이다.x1\displaystyle x_1과 x2\displaystyle x_2는 실선 R\displaystyle R 위의 임의의 두 점이다.p\displaystyle p는 S\displaystyle S 위의 임의의 한 점이다.q\displaystyle q는 선분 op‾\displaystyle \overline{op}와 평행이며 점 x1\displaystyle x_1을 지나는 직선과 S\displaystyle S 의 교점이다.x3\displaystyle x_3는 선분 px2‾\displaystyle \overline{px_2}와 평행이며 q\displaystyle q를 지나는 직선과 실선 R\displaystyle R 의 교점이다.

평행인 두 실선 R, S에서 정의하는 점 x₃

* 위 그림은 x1\displaystyle x_1과 x2\displaystyle x_2가 모두 기준점 o\displaystyle o 우측에 있는 예제임

(나) R′\displaystyle R^{\prime}은 실수 0에 대응되는 기준점이 o′\displaystyle o^{\prime}이고 실수 1이 대응되는 점이 e′\displaystyle e^{\prime}인 실선이다.T\displaystyle T 는 실선 R′\displaystyle R^{\prime}과 같은 평면에 놓여 있고, R′\displaystyle R^{\prime}과 일치하지 않으며 점 o′\displaystyle o^{\prime}을 지나는 임의의 보조 직선이다.y1\displaystyle y_1과 y2\displaystyle y_2는 실선 R′\displaystyle R^{\prime}위의 임의의 두 점이다.v\displaystyle v는 o′\displaystyle o^{\prime}에 일치하지 않는 T\displaystyle T 위의 임의의 한 점이다.w\displaystyle w는 선분 ve′‾\displaystyle \overline{ve^{\prime}} 과 평행이고 점 y2\displaystyle y_2를 지나는 직선과 T\displaystyle T 의 교점이다.y3\displaystyle y_3는 선분 vy1‾\displaystyle \overline{vy_1}과 평행이고 점 w\displaystyle w를 지나는 직선과 실선 R′\displaystyle R^{\prime}의 교점이다.

실선 R′과 보조 직선 T에서 정의하는 점 y₃

* 위 그림은 y1\displaystyle y_1과 y2\displaystyle y_2가 모두 기준점 o′\displaystyle o^{\prime} 우측에 있는 예제임

[1-1]가. 임의의 두 실수 a1\displaystyle a_1과 a2\displaystyle a_2가 각각 실선 R\displaystyle R 상의 두 점인 x1\displaystyle x_1과 x2\displaystyle x_2에 대응된다면, 점 x3\displaystyle x_3로 대응하는 실수 a3\displaystyle a_3를 찾고 그 이유를 설명하시오. 그리고 실수 a3\displaystyle a_3에 대응하는 점 x3\displaystyle x_3를 찾는 다른 방법을 그림으로 예를 들어 설명하시오. (7점)

나. 임의의 두 실수 b1\displaystyle b_1과 b2\displaystyle b_2가 각각 실선 R′\displaystyle R^{\prime}상의 두 점인 y1\displaystyle y_1과 y2\displaystyle y_2에 대응된다면, 점 y3\displaystyle y_3에 대응하는 실수 b3\displaystyle b_3를 찾고 그 이유를 설명하시오. 그리고 실수 b3\displaystyle b_3에 대응하는 점 y3\displaystyle y_3를 찾는 다른 방법을 그림으로 예를 들어 설명하시오. (10점)

[1-2] 함수 f\displaystyle f는 실수의 집합을 정의역과 공역으로 가지고 미분가능하며 증가하며 f′(0)=1\displaystyle f^{\prime}(0)=1이다. 정의역과 공역을 각각 예제에 정의한 실선 R\displaystyle R 과 R′\displaystyle R^{\prime}에 일대일 대응을 시키면, 이 함수는 실선 R\displaystyle R 상의 점 o\displaystyle o를 실선 R′\displaystyle R^{\prime}상의 점 e′\displaystyle e^{\prime}으로 보내고, (가)에서 정의된 실선 R\displaystyle R 상의 점 x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3를 각각 (나)에서 정의된 실선 R′\displaystyle R^{\prime}상의 점 y1,y2,y3\displaystyle y_1,y_2,y_3로 보낸다. 적분 ∫a1a2f(t) dt\displaystyle \int_{a_1}^{a_2}f(t)\,dt 값에 해당되는 점을 실선 R′\displaystyle R^{\prime}상에 작도하시오. (20점)

[1-3] 제1항 c1\displaystyle c_1과 제2항 c2\displaystyle c_2가 각각 0\displaystyle 0이 아닌 어떤 실수이며, 점화식 cn=cn−1+cn−2\displaystyle c_n=c_{n-1}+c_{n-2} 를 만족하는 어떤 수열이 있다. 그리고 위 수열은 어떤 자연수 k>4\displaystyle k>4 에서 처음으로 ck=0\displaystyle c_k=0 을 만족한다고 가정하자. 실수 c1\displaystyle c_1과 c2\displaystyle c_2를 각각 한 실선 위의 두 점 z1\displaystyle z_1 과 z2\displaystyle z_2에 대응한 아래의 그림에서 점 p\displaystyle p를 지나고 선분 qz1‾\displaystyle \overline{qz_1}과 평행한 직선과 실선의 교점 x\displaystyle x에 대응되는 실수가 정수가 아님을 설명하시오. (23점)

점 z₁, z₂, p, q로 정한 실선 위의 교점 x
해설강의 준비중

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