자연계열 1번

〔문제 1〕 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[1-1] 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 다음과 같을 때 집합 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 구하시오. [10점]

[1-2] 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x\leq0$ 이거나 $\displaystyle x\geq1$ 일 때 $\displaystyle f(x)=0$ 이라고 하자. 또한 주어진 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle 0=c_0<c_1<\cdots<c_{k+1}=1$을 만족하는 점 $\displaystyle c_1,\cdots,c_k$에서 얻어지는 닫힌 구간 $\displaystyle [c_i,c_{i+1}]\ (i=0,\cdots,k)$ 각각에서 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 선분이라고 가정하자. 이러한 성질을 만족하고 집합 $\displaystyle B$의 길이가 $\displaystyle 2\pi$이며, $\displaystyle k=2$인 경우의 모든 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 이들 함수의 최댓값 중에서 가장 큰 값 $\displaystyle Q$를 구하시오. 그리고 그 최댓값 $\displaystyle Q$를 갖는 함수 $\displaystyle f(x)$에 의하여 결정되는 모든 집합 $\displaystyle A$를 구하시오. [20점]

[1-3] 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 이 함수 $\displaystyle f(x)$에 의하여 결정되는 집합 $\displaystyle A$가 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac\pi6,\frac\pi4\right]$일 때, 집합 $\displaystyle B$를 구하시오. [10점]

[1-4] 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$와 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 또한 함수 $\displaystyle f(x)$에 의하여 결정되는 집합 $\displaystyle A$가 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$이고, $\displaystyle \int_0^1|f^{\prime\prime}(x)|\,dx=\frac43\pi$이며, $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 이라고 하자. 이러한 성질을 만족하는 모든 함수 $\displaystyle f(x)$의 최댓값의 집합을 $\displaystyle C$라 할 때, 집합 $\displaystyle \{b\in R\mid$ 모든 $\displaystyle m\in C$ 에 대하여 $\displaystyle m\leq b\}$의 최솟값 $\displaystyle S$를 구하시오. [20점]