연세대 신촌캠퍼스 2013학년도 수시 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

(가) 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 정의역과 공역을 $\displaystyle \{0,1,\cdots,2n\}$ 로 하는 일대일 대응을 모두 모은 집합을 $\displaystyle S$ 라 하고 그 원소를 중복 없이 나열하여 $\displaystyle S=\{f_1,\cdots,f_N\}$ 이라 하자. 이 때, $\displaystyle 1$ 과 $\displaystyle N$ 사이의 자연수 $\displaystyle j$ 에 대하여 집합 $\displaystyle A_j$ 와 $\displaystyle B_j$ 를 $\displaystyle A_j=\{i\mid f_j(i)<f_j(0),1\leq i\leq n\},\quad B_j=\{i\mid f_j(i)<f_j(0),n+1\leq i\leq2n\}$ 라 하고 $\displaystyle a_j$ 와 $\displaystyle b_j$ 를 각각 집합 $\displaystyle A_j$ 와 $\displaystyle B_j$ 의 원소의 개수라 하자. 또한, 집합 $\displaystyle D_k$ 와 $\displaystyle E_k$ 를 $\displaystyle D_k=\{f_j\mid f_j\in S,a_j=k\},\quad E_k=\{f_j\mid f_j\in S,b_j=k\}$ 라 하자.

(나) $\displaystyle 2n$ 명의 사람 중에서 $\displaystyle k$ 명을 뽑았다고 하자. 이 때, $\displaystyle 2n$ 명의 사람이 $\displaystyle n$ 쌍의 부부로 이루어졌다고 가정하면, $\displaystyle 2n$ 명 중 뽑힌 사람 수 $\displaystyle k$ 는 부부가 모두 뽑힌 쌍의 수의 $\displaystyle 2$ 배와 부부 중 한 명만이 뽑힌 쌍의 수의 총합으로 생각할 수 있다.

[1-1] 아래의 논제에 답하시오. [10점](1) 집합 $\displaystyle S$ 의 원소의 개수 $\displaystyle N$ 을 구하는 방법을 설명하시오.(2) 표본공간 $\displaystyle S$ 의 각 원소 $\displaystyle f_j$ 에 값 $\displaystyle a_j$ 를 대응시키는 확률변수 $\displaystyle X$ 를 생각하자. $\displaystyle n=3$ 일 때, 확률 $\displaystyle P(X=1)$ 을 구하는 방법을 설명하시오.

[1-2] $\displaystyle n=3$ 이라 할 때, 아래의 논제에 답하시오. [20점](1) 집합 $\displaystyle D_1\cap E_1$ 과 $\displaystyle D_1\cap E_3$ 의 원소의 개수를 구하는 방법을 설명하시오.(2) 위에서 구한 두 집합의 원소의 개수가 같은지 다른지 판단하고 그 이유를 논하시오.(3) 집합 $\displaystyle D_k$ 와 $\displaystyle E_k$ 를 표본공간 $\displaystyle S$ 의 사건으로 생각할 때, 두 사건 $\displaystyle D_1$ 과 $\displaystyle E_1$ 이 서로 독립인지 판단하고 그 이유를 설명하시오.

[1-3] 다음 등식 $\displaystyle {}_{2n}\mathrm{C}_k=\sum_{i=0}^{\boxed{\text{㈎}}}\left({}_{n}\mathrm{C}_i\times{}_{n-i}\mathrm{C}_{\boxed{\text{㈏}}}\times2^{\boxed{\text{㈐}}}\right)$ Comment. 합에서 선택할 수 있는 수보다 많이 고르는 경우의 조합의 수는 $\displaystyle 0$ 으로 본다. 즉, $\displaystyle r>m$ 이면 $\displaystyle {}_{m}\mathrm{C}_r=0$ 으로 본다. 이를 따로 제외하려면 합의 시작값을 $\displaystyle \max(0,k-n)$ 으로 두면 된다.이 성립하도록 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 구하고 그 이유를 설명하시오. [15점]

[1-4] 다항함수 $\displaystyle g(x)=\sum_{j=1}^N(1-x)^{a_j}(1+x)^{b_j}$ 를 생각하자. 닫힌 구간 $\displaystyle [-1,1]$ 에서 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 최댓값을 구하고, 그 값이 최대인 이유를 설명하시오. [15점]

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QtA. 왜 하필 $\displaystyle (1-x)^{a_j}(1+x)^{b_j}$ 를 모두 더하도록 했을까?이 문항의 발상은 생성함수로 되짚어 볼 수 있다.앞의 $\displaystyle n$ 명과 뒤의 $\displaystyle n$ 명을 한 명씩 짝지어 부부로 생각하되,한 부부의 두 사람에게 각각 $\displaystyle 1-x$ , $\displaystyle 1+x$ 를 붙이고,고른 사람의 수를 $\displaystyle t$ 의 지수로 나타내자.아무도 고르지 않기, 한 사람만 고르기, 둘 다 고르기는 $\displaystyle 1+(1-x)t+(1+x)t+(1-x)(1+x)t^2$ $\displaystyle =1+2t+(1-x^2)t^2$ 로 한꺼번에 나타낼 수 있다.따라서 $\displaystyle n$ 쌍의 부부 중 사람을 고르는 모든 경우는 $\displaystyle \left(1+2t+(1-x^2)t^2\right)^n$ 로 나타낼 수 있다. 여기서 $\displaystyle t^k$ 의 계수는 $\displaystyle k$ 명을 고르는 모든 경우에 대해 $\displaystyle (1-x)^a(1+x)^b$ 를 더한 값이다.단, $\displaystyle a,b$ 는 각각 앞의 $\displaystyle n$ 명과 뒤의 $\displaystyle n$ 명 중 고른 사람의 수이다.문제의 일대일 대응을 함수값이 작은 원소부터 나열한 순서로 생각하면,선택한 $\displaystyle k$ 개 원소는 $\displaystyle 0$ 앞에, 나머지는 뒤에 놓인다.그 순서를 정하는 방법은 $\displaystyle k!(2n-k)!$ 가지이므로,각 $\displaystyle t^k$ 의 계수에 이 수를 곱해 $\displaystyle k=0,1,\ldots,2n$ 에 대하여 모두 더한 것이 $\displaystyle g(x)$ 이다. $\displaystyle -1\le x\le1$ 에서 $\displaystyle 0\le1-x^2\le1$ 이므로,이 생성함수의 각 계수는 $\displaystyle x=0$ 일 때 가장 크다.따라서 $\displaystyle g(x)$ 도 $\displaystyle x=0$ 에서 최댓값 $\displaystyle g(0)=N=(2n+1)!$ 을 갖는다.한 사람만 고르는 항에서는 $\displaystyle x$ 가 사라지고,둘 다 고르는 항에는 $\displaystyle 1-x^2$ 만 남는다.(3)의 부부 선택과 (4)의 최댓값을 하나의 아이디어로 엮은 문제라고 볼 수 있다.〔관련 개념: 생성함수〕

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