자연계열 1번

[문제1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

※ 다음 모든 문제에서 사용되는 $\displaystyle f$와 $\displaystyle F$는 제시문 (나)에서 주어진 관계를 만족한다.

[1-1] 함수 $\displaystyle f(x)=x^2$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 접하고 기울기가 $\displaystyle m$인 접선을 $\displaystyle l$이라 할 때, 직선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle y$절편이 $\displaystyle -F(m)$임을 설명하시오. [10점]

[1-2] (1) 함수 $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$가 집합 $\displaystyle B$의 원소일 때, 모든 실수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle F(m)=pm^2+qm+r$로 나타낼 수 있으므로 함수 $\displaystyle F(x)$도 집합 $\displaystyle B$의 원소임을 설명하시오. [10점]

(2) 문제 (1)의 두 함수 $\displaystyle f$와 $\displaystyle F$에 대하여 $\displaystyle f$에 $\displaystyle F$를 대응시키는 함수 $\displaystyle T:B\to B$를 생각할 수 있다. 함수 $\displaystyle T$에 대하여 $\displaystyle f_k=(\underbrace{T\circ T\circ\cdots\circ T}_{k\text{개}})(f)\quad(k=1,2,3,\cdots)$으로 정의하자. 집합 $\displaystyle B$의 원소 $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac1n f_k\left(\frac{k}{2n}\right)$의 수렴 여부를 논하고, 수렴하면 그 극한값을 $\displaystyle a,b,c$에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

[1-3] (1) 함수 $\displaystyle f(x)=\operatorname{Max}(ax+b,cx+d)$ (단, $\displaystyle a<c$)에 대하여 $\displaystyle F(m)$이 존재하는 $\displaystyle m$의 범위를 찾고, $\displaystyle F(m)$을 $\displaystyle a,b,c,d$와 $\displaystyle m$에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

(2) 함수 $\displaystyle f(x)=\operatorname{Max}\left(\frac{a+b}2x-\frac{ab}2,\frac12x^2\right)$ (단, $\displaystyle a<b$)라 하자. 모든 실수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle F(m)$이 존재함을 보이고, $\displaystyle F(m)$을 $\displaystyle a,b$와 $\displaystyle m$에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

(3) 집합 $\displaystyle U$의 원소 $\displaystyle f$에 대응하는 $\displaystyle F$가 집합 $\displaystyle U$의 원소라면 $\displaystyle T(f)=F$라 하고, 이 과정을 $\displaystyle k$번 반복할 수 있는 경우 $\displaystyle f_k=(\underbrace{T\circ T\circ\cdots\circ T}_{k\text{개}})(f)\quad(k=1,2,3,\cdots)$으로 정의하자. 함수 $\displaystyle f(x)=\operatorname{Max}\left(6x-10,\frac12x^2\right)$에 대하여 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{10^n}f_n(3^n)$의 수렴 여부를 논하고, 수렴하면 그 값을 구하시오. [10점]