자연계열 I (오전) 1번

이 경우의 수를 $\displaystyle f(k)$라 하면,$\displaystyle \begin{aligned}f(k)&={}_{100}\mathrm{C}_{k}\times{}_{k}\mathrm{C}_{2}\times{}_{k-2}\mathrm{C}_{5}\\[6pt]&=\frac{100!}{k!(100-k)!}\times\frac{k!}{2!(k-2)!}\times\frac{(k-2)!}{(k-7)!5!}\\[6pt]&=\frac{100!}{2!5!(100-k)!(k-7)!}\end{aligned}$$\displaystyle f(k)$가 $\displaystyle k=n$에서 최대라면 $\displaystyle f(n+1)\le f(n)$ 과 $\displaystyle f(n-1)\le f(n)$을 만족한다.$\displaystyle \frac{f(n)}{f(n+1)}\ge1\ \Rightarrow\ \frac{n-6}{100-n}\ge1\ \Rightarrow\ n\ge53$$\displaystyle \frac{f(n-1)}{f(n)}\le1\ \Rightarrow\ \frac{n-7}{101-n}\le1\ \Rightarrow\ n\le54$$\displaystyle f(53)=f(54)$이므로 $\displaystyle f(k)$가 최대가 되도록 하는 모든 $\displaystyle k$의 값은 53과 54가 된다.