집합과 명제

강의 노트

집합과 원소, 명제와 조건, 진리집합, 집합의 표현과 원소의 개수 — 수업 필기

TMI. 러셀의 역설집합도 다른 집합의 원소가 될 수 있다. ‘자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합’을 모아 하나의 집합 $\displaystyle R$ 을 만들 수 있다고 해보자. $\displaystyle R=\{A\mid A\notin A\}$ $\displaystyle R$ 이 자기 자신의 원소라면, $\displaystyle R$ 의 원소가 되는 조건에 따라 자기 자신의 원소가 아니어야 한다.반대로 자기 자신의 원소가 아니라면, 조건을 만족하므로 $\displaystyle R$ 의 원소여야 한다. 어느 쪽이든 모순이다.조건을 분명하게 적었다고 해서 언제나 집합을 만들 수 있는 것은 아니라는 이야기. 러셀이 $\displaystyle 1901$ 년 발견한 이 역설은 집합을 만드는 규칙을 더 엄밀하게 정하는 계기가 되었다.〔스탠퍼드 철학백과〕

Q. 네 집합의 벤다이어그램은 원 네 개로 그릴 수 없을까?A. 각 집합에 속하거나 속하지 않는 모든 경우를 나타내려면 원으로는 그릴 수 없다.집합이 네 개이면 각 집합에 속하는지에 따라 $\displaystyle 2^4=16$ 가지 경우가 생기므로, 어느 집합에도 속하지 않는 바깥 영역까지 포함하여 $\displaystyle 16$ 개의 영역이 필요하다.그런데 원 세 개가 평면을 나누는 영역은 최대 $\displaystyle 8$ 개이다. 네 번째 원은 기존의 각 원과 최대 두 점에서 만나므로 교점이 최대 $\displaystyle 6$ 개이고, 새로 늘어나는 영역도 최대 $\displaystyle 6$ 개이다. 따라서 원 네 개가 만드는 영역은 최대 $\displaystyle 8+6=14$ 개이므로 $\displaystyle 16$ 가지 경우를 모두 나타낼 수 없다.타원처럼 원이 아닌 곡선을 쓰면 네 집합의 벤다이어그램을 그릴 수 있다. 일부 경우가 빈집합인 특정한 네 집합의 관계는 원으로도 나타낼 수 있다.

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