심화 평면에서의 최단 거리

* 대칭이동과 삼각부등식

직선 $\displaystyle l$ 위에 있지 않고 같은 쪽에 있는 두 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$에 대하여, 점 $\displaystyle P$가 직선 $\displaystyle l$ 위를 움직인다고 하자.

점 $\displaystyle A$를 직선 $\displaystyle l$에 대하여 대칭이동한 점을 $\displaystyle A'$이라 하면 $\displaystyle \overline{AP}=\overline{A'P}$이므로$\displaystyle \overline{AP}+\overline{PB}=\overline{A'P}+\overline{PB}\ge\overline{A'B}$이다.

등호는 $\displaystyle A'$, $\displaystyle P$, $\displaystyle B$가 이 순서로 한 직선 위에 있을 때 성립한다.따라서 직선 $\displaystyle l$과 선분 $\displaystyle \overline{A'B}$의 교점을 $\displaystyle P$로 잡으면 거리의 합이 최소가 된다.

대칭이동으로 거리를 보존하면서 꺾인 경로를 펴면, 삼각부등식의 등호가 성립하는 위치를 찾을 수 있다.점 $\displaystyle P$의 범위가 선분 등으로 제한되어 있으면, 이 교점이 허용된 범위 안에 있는지도 확인한다.

* 평행이동과 삼각부등식

평행한 두 강둑 $\displaystyle l$, $\displaystyle m$ 사이의 거리를 $\displaystyle h$라 하자. 점 $\displaystyle A$는 강둑 $\displaystyle l$ 쪽의 육지에, 점 $\displaystyle B$는 강둑 $\displaystyle m$ 쪽의 육지에 있다.두 강둑에 수직인 다리 $\displaystyle \overline{PQ}$를 놓아 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle B$까지 이동하는 거리를 최소로 만들려고 한다. 단, $\displaystyle P$는 $\displaystyle l$ 위에, $\displaystyle Q$는 $\displaystyle m$ 위에 있다.

점 $\displaystyle B$를 $\displaystyle Q$에서 $\displaystyle P$로 향하는 방향으로 $\displaystyle h$만큼 평행이동한 점을 $\displaystyle B'$이라 하자.다리의 위치가 바뀌어도 이 평행이동은 같으며,$\displaystyle \overline{QB}=\overline{PB'}$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}&=\overline{AP}+\overline{PB'}+h\\&\ge\overline{AB'}+h\end{aligned}$이다.

등호는 $\displaystyle A$, $\displaystyle P$, $\displaystyle B'$이 이 순서로 한 직선 위에 있을 때 성립한다.따라서 선분 $\displaystyle \overline{AB'}$과 강둑 $\displaystyle l$의 교점을 $\displaystyle P$로 잡고, 그곳에서 맞은편 강둑까지 수직으로 다리를 놓으면 이동거리가 최소가 된다.

다리의 길이는 일정하므로, 평행이동으로 두 육로 구간을 이어 그 길이의 합을 최소로 만드는 것이다.

* 회전이동과 페르마의 점

삼각형 $\displaystyle ABC$의 세 꼭짓점까지의 거리의 합$\displaystyle \overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PC}$이 최소가 되는 점 $\displaystyle P$를 페르마의 점이라고 한다.

먼저 삼각형의 세 내각이 모두 $\displaystyle 120^\circ$보다 작은 경우를 생각하자.

점 $\displaystyle B$를 중심으로 점 $\displaystyle A$를 $\displaystyle 60^\circ$ 회전하여 $\displaystyle A'$으로 옮기되, $\displaystyle A'$은 직선 $\displaystyle AB$를 기준으로 점 $\displaystyle C$의 반대쪽에 잡는다.이때 삼각형 $\displaystyle ABA'$은 정삼각형이다.

점 $\displaystyle P$도 같은 방향으로 $\displaystyle 60^\circ$ 회전한 점을 $\displaystyle P'$이라 하면$\displaystyle \overline{AP}=\overline{A'P'},\qquad\overline{BP}=\overline{PP'}$이다. 첫 번째 등식은 회전이동이 길이를 보존하기 때문이고, 두 번째 등식은 $\displaystyle P\ne B$일 때 삼각형 $\displaystyle BPP'$가 정삼각형이 되기 때문이다. $\displaystyle P=B$인 경우에도 두 길이는 모두 $\displaystyle 0$이다.

따라서 삼각부등식에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\overline{AP}+\overline{BP}+\overline{CP}&=\overline{CP}+\overline{PP'}+\overline{P'A'}\\&\ge\overline{CA'}\end{aligned}$이고, 등호는 $\displaystyle C$, $\displaystyle P$, $\displaystyle P'$, $\displaystyle A'$이 이 순서로 한 직선 위에 있을 때 성립한다.

이때 정삼각형 $\displaystyle BPP'$의 두 각이 $\displaystyle 60^\circ$이므로$\displaystyle \angle BPC=120^\circ,\qquad\angle APB=\angle A'P'B=120^\circ$이고, 나머지 $\displaystyle \angle CPA$도 $\displaystyle 120^\circ$이다.

즉, 세 내각이 모두 $\displaystyle 120^\circ$보다 작으면, 세 꼭짓점을 향한 세 선분이 서로 $\displaystyle 120^\circ$를 이루는 내부점에서 거리의 합이 최소가 된다.

이 점은 삼각형의 두 변에 각각 바깥쪽 정삼각형을 만든 뒤, 새 꼭짓점과 마주 보는 원래 꼭짓점을 이은 두 선분의 교점으로 찾을 수 있다.

단, 삼각형의 한 내각이 $\displaystyle 120^\circ$ 이상이면 그 각의 꼭짓점에서 거리의 합이 최소가 된다.예를 들어 $\displaystyle \angle A\ge120^\circ$이면 $\displaystyle P=A$일 때 최솟값은 $\displaystyle \overline{AB}+\overline{AC}$이다.