자연계열 1번

[1-1] (20점)(1) (4점) 점 $\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_0\mathrm{P}$의 넓이는 $\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_0\mathrm{B}_0$의 넓이에서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OB}_0\mathrm{P}$의 넓이와 $\displaystyle \triangle\mathrm{A}_0\mathrm{B}_0\mathrm{P}$의 넓이의 합을 빼서 구할 수 있으므로, 아래의 식이 성립한다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle (x,kx^2)$이라 두면, $\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_0\mathrm{B}_0$의 넓이는 $\displaystyle \frac{k}{2}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OB}_0\mathrm{P}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{kx^2}{2}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{A}_0\mathrm{B}_0\mathrm{P}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{(1-x)k}{2}$이므로, 다음이 성립한다.$\displaystyle 2\times(\triangle\mathrm{OAP}\text{의 넓이})=k-(kx^2+(1-x)k)=kx-kx^2=-k\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{k}{4}.$따라서 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_0\mathrm{P}$의 넓이는 최대이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_1$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

(2) (8점) $\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_n\mathrm{P}$의 넓이는 $\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_n\mathrm{B}_n$의 넓이에서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OB}_n\mathrm{P}$의 넓이와 $\displaystyle \triangle\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n\mathrm{P}$의 넓이의 합을 빼서 구할 수 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}_n$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_n$라 두고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle (x,kx^2)$라 두면,$\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_n\mathrm{B}_n$의 넓이는 $\displaystyle \frac{kx_n^3}{2}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OB}_n\mathrm{P}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{kx^2x_n}{2}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n\mathrm{P}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{(x_n-x)kx_n^2}{2}$이므로, 다음이 성립한다.$\displaystyle 2\times(\triangle\mathrm{OA}_n\mathrm{P}\text{의 넓이})=kx_n^3-(kx^2x_n+(x_n-x)kx_n^2)=kx_n^2x-kx_nx^2=-k\left(x-\frac{x_n}{2}\right)^2+\frac{kx_n^2}{4}$가 성립한다. 즉 $\displaystyle x=\frac{x_n}{2}$일 때, $\displaystyle \triangle\mathrm{OA}_n\mathrm{P}$의 넓이가 최대이다.따라서 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n}{2}$이며, $\displaystyle s_{n+1}=\frac{kx_n^2}{8}$이다.수열 $\displaystyle \{x_n\}$은 초항이 $\displaystyle \frac{1}{2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열 $\displaystyle x_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$이다.$\displaystyle x_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$로부터, $\displaystyle s_{n+1}=\frac{k}{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}=\frac{k}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}$가 된다.$\displaystyle s_1=\frac{k}{8}$이므로, 수열 $\displaystyle \{s_n\}$도 등비수열이 되어, 등비급수의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}s_n=\frac{\frac{k}{8}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{k}{6}$이다.Correction. 완전제곱식을 만드는 과정에서 계수 $\displaystyle x_n$이 빠졌다. 올바른 식은 $\displaystyle -kx_n(x-\frac{x_n}{2})^2+\frac{kx_n^3}{4}$이며, $\displaystyle s_{n+1}=\frac{kx_n^3}{8}$이다. 따라서 넓이의 공비는 $\displaystyle \frac18$이고 급수의 합은 $\displaystyle \frac{k}{7}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) (8점) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 할 때, $\displaystyle \triangle\mathrm{AP}^{\prime}\mathrm{P}$의 높이는 $\displaystyle k-y$ 밑변의 길이는 $\displaystyle 2x$이므로, $\displaystyle \triangle\mathrm{APP}^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle x(k-y)=kx-kx^3$이다.이제 $\displaystyle 0\le x\le1$일 때, $\displaystyle f(x)=kx-kx^3$가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle x$의 값을 구하면 된다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=k-3kx^2=k(1-3x^2)$이므로 $\displaystyle x=\frac{\sqrt3}{3}$에서 $\displaystyle f(x)$가 최댓값을 가진다.따라서 $\displaystyle a=\frac{\sqrt3}{3}$이고 $\displaystyle a^2=\frac{1}{3}$이다. 주어진 정적분을 계산하면,Correction. 이 풀이의 $\displaystyle a$는 문제에서 정의한 $\displaystyle p$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \int_0^ax(\sin\pi x^2-\cos\pi x^2)\,dx=-\frac{1}{2\pi}(\cos\pi x^2+\sin\pi x^2)\bigg|_0^a=-\frac{1}{2\pi}\left(\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{2\pi}=\frac{1-\sqrt3}{4\pi}$이다.

[1-2] (30점)(1) (8점) $\displaystyle f(x)=nx^2$ ($\displaystyle n$은 양의 정수)일 때 $\displaystyle f(1)=n$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2nx$이므로, 제시문 (나)의 식은 $\displaystyle (1-x)2nx=nx^2-n$이다. 이를 정리하면, $\displaystyle 3nx^2-2nx-n=0$이다. 인수분해하면, $\displaystyle n(3x+1)(x-1)=0$이다. 이는 $\displaystyle 1$이 아닌 실근 $\displaystyle x=-\frac{1}{3}$을 가진다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle \left(-\frac{1}{3},\frac{n}{9}\right)$으로 결정이 된다.점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{B},\ \mathrm{Q}$라고 하면, $\displaystyle \triangle\mathrm{OAP}$의 넓이는 사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{ABQP}$의 넓이에서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}$의 넓이와 $\displaystyle \triangle\mathrm{OPQ}$의 넓이의 합을 빼서 구할 수 있다.$\displaystyle \square\mathrm{ABQP}$의 넓이는 $\displaystyle \left(n+\frac{n}{9}\right)\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{20n}{27}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{n}{2}$, $\displaystyle \triangle\mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{n}{54}$이므로,$\displaystyle \triangle\mathrm{OAP}$의 넓이는 $\displaystyle t_n=\frac{n(40-27-1)}{54}=\frac{2n}{9}$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(t_n+1)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{9}+1\right)^{\frac{9}{2n}\cdot\frac{2}{9}}=e^{\frac{2}{9}}$이다.Comment. $\displaystyle t_n=\frac{2n}{9}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(t_n+1)^{1/n}=1$이다. 원문의 $\displaystyle e^{2/9}$은 극한 계산 오류이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) (12점) $\displaystyle f(1)=e$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x+1)e^x$이다. 제시문 (나)의 식은 $\displaystyle (1-x)(x+1)e^x=xe^x-e$이다.즉, $\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle (x^2+x-1)e^x-e=0$의 $\displaystyle x\ne1$인 실근이 존재하지 않음을 보이면 충분하다.편의상 $\displaystyle g(x)=(x^2+x-1)e^x-e$라 두자. $\displaystyle g(1)=0$이므로 $\displaystyle x=1$은 방정식 $\displaystyle g(x)=0$의 근이다. $\displaystyle g^{\prime}(x)=(x^2+3x)e^x=x(x+3)e^x$이므로 $\displaystyle g(x)$의 증가와 감소는 아래의 표와 같다.

(3) (10점) 제시문 (나)를 통해, <조건>을 만족하는 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$의 존재는 방정식 $\displaystyle (f(x)-f(1))f^{\prime}(x)=1-x$을 만족하는 $\displaystyle 1$이 아닌 실근의 존재 여부와 같음을 알 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=2ax+a=a(2x+1)$이고 $\displaystyle f(x)-f(1)=ax^2+ax-2a=a(x+2)(x-1)$로부터, $\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle a^2(2x+1)(x+2)(x-1)=1-x$의 $\displaystyle 1$이 아닌 실근의 존재 여부를 판단해보자.Comment. 제시문의 조건은 $\displaystyle (1-x)f^{\prime}(x)=f(x)-f(1)$인데, 이 풀이는 다른 조건인 $\displaystyle (f(x)-f(1))f^{\prime}(x)=1-x$을 사용했다. 실제 조건에 $\displaystyle f(x)=kx^2+kx$를 대입하면 $\displaystyle 3k(x-1)(x+1)=0$이므로 모든 $\displaystyle k\ne0$에서 $\displaystyle x=-1$이 가능하다. 답안에서는 $\displaystyle k$를 $\displaystyle a$로도 표기했다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 방정식을 정리하면, $\displaystyle (x-1)[a^2(2x+1)(x+2)+1]=0$이므로, $\displaystyle a^2(2x+1)(x+2)+1=0$이 $\displaystyle 1$이 아닌 실근을 갖는 $\displaystyle a$의 범위를 구하면 된다.이 방정식은 $\displaystyle x=1$을 근으로 갖지 않으며, 주어진 방정식을 정리하면 $\displaystyle 2a^2x^2+5a^2x+(2a^2+1)=0$이다.여기서 $\displaystyle a=0$이면, $\displaystyle 1=0$이 되므로, $\displaystyle a\ne0$임을 알 수 있다. 따라서 주어진 방정식은 이차방정식이고, 이것이 실근을 가질 필요충분조건을 구하기 위해, 판별식을 쓰면$\displaystyle D=25a^4-8a^2(2a^2+1)=9a^4-8a^2=a^2(9a^2-8)\ge0$이다.이를 풀면 $\displaystyle a\ge\frac{2\sqrt2}{3}$ 또는 $\displaystyle a\le-\frac{2\sqrt2}{3}$이다.