자연계열 2번

[2-1] (25점)(1) (7점) 전구의 색이 노란색이기 위해서는 두 장의 비닐커버가 모두 노란색 이거나 노란색 + 흰색이어야 한다. 이때 전구에 비닐커버를 씌우는 순서를 고려하면 다음 세 가지 경우가 생긴다.• 노란색 + 노란색 = $\displaystyle P_{yy}=\frac{1}{9}$• 노란색 + 흰색 = $\displaystyle P_{yw}=\frac{1}{9}$• 흰색 + 노란색 = $\displaystyle P_{wy}=\frac{1}{9}$(단, $\displaystyle c_1$색 + $\displaystyle c_2$색으로 표현한 것은 안쪽 비닐커버의 색이 $\displaystyle c_1$, 바깥쪽 비닐커버의 색이 $\displaystyle c_2$라는 의미)따라서 합의 법칙에 의해 전구의 색이 노랑일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다.(참고. 파란색일 확률 역시 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다. 흰색을 확률은 $\displaystyle \frac{1}{9}$이고, 초록색일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{9}$이다.)Correction. 참고 문장의 ‘흰색을 확률’은 ‘흰색일 확률’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) (9점) 전구가 노란색일 때에는 (1)의 풀이와 같은 세 가지 경우 $\displaystyle (P_{yy},\ P_{yw},\ P_{wy})$ 중 하나이고, 이 중 바깥쪽 비닐커버를 벗겨내도 여전히 노란색이 되기 위해서는 안쪽 비닐커버가 노란색이 되어야 하므로 노란색+노란색 혹은 노란색+흰색의 경우 $\displaystyle (P_{yy},\ P_{yw})$가 된다. 따라서 조건부확률을 계산하면$\displaystyle \frac{P_{yy}+P_{yw}}{P_{yy}+P_{yw}+P_{wy}}=\frac{2}{3}$이다.

(3) (9점) 전구 A와 전구 B의 상태에 따라 전구 C의 색을 표로 표현하면 다음과 같다.

[2-2] (25점)(1) (12점) <조건>을 만족하기 위해서는 첫 번째 비닐커버의 색은 노란색이어야 하고, $\displaystyle k$번째 비닐커버를 씌우기 이전에는 노란색, 흰색 비닐커버만 씌워야 한다. 그리고 $\displaystyle k$번째는 반드시 파란색이 나와야 하고, 그 이후에는 어떤 것이 나와도 상관없다. 따라서 <조건>을 만족하는 경우의 수는 $\displaystyle E_k=2^{k-2}\times3^{10-k}$이다.$\displaystyle a=\log_{10}2$, $\displaystyle b=\log_{10}3$이라 두자. 한편 $\displaystyle \log_{10}E_k=(k-2)a+(10-k)b$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=2}^{10}\log_{10}E_k&=a\sum_{k=2}^{10}(k-2)+b\sum_{k=2}^{10}(10-k)\\&=a(0+1+\cdots+7+8)+b(8+7+\cdots+1+0)\\&=(a+b)\frac{8\times9}{2}\end{aligned}$이다. 한편 $\displaystyle c=a+b$이므로 원하는 답은 $\displaystyle 36c$이다.

(2) (13점) $\displaystyle F_k$를 구하기 위해 먼저 색이 변하는 $\displaystyle k$개의 전구를 고른다($\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}$가지의 경우).Comment. 원문의 계산은 색이 변하는 한 전구의 커버 선택만 세어, 선택된 $\displaystyle k$개 전구 각각의 선택을 반영하지 않았다. $\displaystyle k\ge2$에서는 $\displaystyle F_k={}_{n}\mathrm{C}_{k}\left[2(2^{k-1}-1)3^{n-k}\right]^k$이고, $\displaystyle F_0=1$, $\displaystyle F_1=0$이다. 예를 들어 $\displaystyle n=1$이면 구하는 합은 $\displaystyle 1$인데 원문의 식은 $\displaystyle -3$이 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.먼저, 전구에 $\displaystyle k$번째 비닐커버를 씌우면서 노란색에서 초록색으로 변한다고 가정하자.처음 $\displaystyle k-1$번째 비닐커버를 겹쳐 씌울 동안 노란색 비닐커버가 반드시 한 번은 나오도록 비닐커버를 씌우는 경우의 수는 노란색과 흰색 비닐커버를 임의로 $\displaystyle k-1$개 고르는 경우의 수에서 흰색 비닐커버만 씌우는 경우를 제외하면 된다($\displaystyle 2^{k-1}-1$). $\displaystyle k$번째 비닐커버는 반드시 파란색이어야 하며, 나머지 $\displaystyle n-k$개의 비닐커버의 경우는 제약이 없으므로 가능한 경우의 수는 $\displaystyle 3^{n-k}$이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여, 가능한 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}\times(2^{k-1}-1)\times3^{n-k}$이다,전구에 $\displaystyle k$번째 비닐커버를 씌우면서 파란색에서 초록색으로 변하는 경우 역시 같은 방법으로 계산할 수 있으므로, $\displaystyle F_k={}_{n}\mathrm{C}_{k}\times(2^{k-1}-1)\times3^{n-k}\times2$이다.따라서 이항정리에 의해$\displaystyle \sum_{k=0}^nF_k=\left(\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}2^k3^{n-k}-2\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}3^{n-k}\right)=(2+3)^n-2(1+3)^n=5^n-2^{2n+1}$이다.