자연계열 1번

$\displaystyle b_n=3-\frac1{\frac{2n-1}{2n-3}}=\frac{4n}{2n-1}$

이고 각 항이 기약분수이므로, 제2유도수열은$\displaystyle c_1=3,\ c_2=5,\ \cdots,\ c_{n-1}=2n-1,\ c_n=4n$이다.

[문제 1-2] (10점)Correction. 예시답안의 [문제 1-2]와 [문제 1-3] 배점은 서로 바뀌어 있다. 문제지와 세부 채점기준의 합계는 각각 15점, 10점이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.제1유도수열의 일반항은 $\displaystyle b_k=\frac{k+1}k$이다. 해당 식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하자.

먼저, $\displaystyle k=1$이면, $\displaystyle b_1=2$이므로 해당 식이 성립한다.

제1유도수열의 제$\displaystyle k-1$항이 $\displaystyle b_{k-1}=\frac k{k-1}$이라고 가정하자. 그러면, $\displaystyle b_k=2-\frac1{\frac k{k-1}}=\frac{k+1}k$이다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 해당 식이 성립한다.

[문제 1-4] (15점)구하려는 기본수열의 제1유도수열의 끝항을 $\displaystyle b_n$이라 하면, $\displaystyle b_n=\frac st>1$인 유리수이다. 이때, $\displaystyle 1<b_n=\frac st\le d_n<\frac st+1$을 만족하는 1보다 큰 자연수 $\displaystyle d_n$이 유일하게 존재한다.

(1) 만약 $\displaystyle \frac st$가 자연수라면, $\displaystyle n=1$이고 구하려는 기본수열은 $\displaystyle a_1=b_1$이다.

(2) 만약 $\displaystyle \frac st$가 자연수가 아닌 유리수라면,$\displaystyle b_{n-1}=\frac t{td_n-s}$라고 두었을 때,$\displaystyle b_n=d_n-\frac1{b_{n-1}}$이고 $\displaystyle b_{n-1}$은 1보다 큰 유리수이므로 기약분수 $\displaystyle b_{n-1}=\frac{s^{\prime}}{t^{\prime}}$로 나타낼 수 있고 $\displaystyle s^{\prime}\le t<s$이다.

위의 과정을 반복하여 $\displaystyle b_{n-1},b_{n-2},\cdots,b_1$을 얻을 수 있고, 이들을 기약분수로 표현했을 때 각 분자는 감소하는 자연수이므로 이 과정은 유한번 안에 끝난다는 것을 알 수 있다. 또한, 위의 과정에서 1보다 큰 자연수로 구성된 수열 $\displaystyle d_2,d_3,\cdots,d_n$도 얻게 된다. 즉, 제시문에 있는 제1유도수열의 정의에 의하여, 구하려는 기본수열은 $\displaystyle a_1=b_1,a_2=d_2,\cdots,a_n=d_n$이다.