자연계열 2번

[문제 2-1] (30점)(1) (10점) 제시문에서 설명된 것처럼 $\displaystyle h(\alpha)\ne0$인 다항식 $\displaystyle h(x)$와 자연수 $\displaystyle m$이 존재하여 $\displaystyle f(x)=(x-\alpha)^m h(x)$로 표현되고$\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-\alpha)^{m-1}(mh(x)+(x-\alpha)h^{\prime}(x))$이므로

$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)-f(x)=(x-\alpha)^{m-1}\{mh(x)+(x-\alpha)(h^{\prime}(x)-h(x)\}$Correction. $\displaystyle g(x)$를 전개한 식에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)-h(x)$를 묶는 닫는 소괄호가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 얻는다.

이제 $\displaystyle k(x)=mh(x)+(x-\alpha)(h^{\prime}(x)-h(x))$라 하면 $\displaystyle g(x)=(x-\alpha)^{m-1}k(x)$이고 $\displaystyle k(\alpha)=mh(\alpha)\ne0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle \alpha$를 $\displaystyle (m-1)$중근으로 가진다.

(2) (10점) $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle f(x)$의 이웃한 두 실근이므로 구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이거나 $\displaystyle f(x)<0$를 만족한다.

• 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이면, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 증가하고 $\displaystyle x=\beta$에서 감소해야 한다.

$\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 모두 단근이므로 $\displaystyle g(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)>0$, $\displaystyle g(\beta)=f^{\prime}(\beta)<0$이 되고 사잇값의 정리에 의해 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$ 사이에 $\displaystyle g(x)$의 실근이 존재한다.

• 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)<0$이면, $\displaystyle g(\alpha)<0$, $\displaystyle g(\beta)>0$이 되어 이 경우 또한 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$ 사이에 $\displaystyle g(x)$의 실근이 존재한다.

• 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이면, $\displaystyle \alpha$는 단근이고 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 증가하므로 $\displaystyle g(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)>0$이다. 한편 $\displaystyle f(\alpha)=f(\beta)=0$이므로 제시문의 사실(나)(또는 롤의 정리)에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(\gamma)=0$인 실수 $\displaystyle \gamma$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

이 경우, $\displaystyle f(\gamma)$는 양수이어야하므로 $\displaystyle g(\gamma)=-f(\gamma)<0$이고 사잇값의 정리에 의해 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \gamma$ 사이에 $\displaystyle g(x)$의 실근이 존재한다.

• 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)<0$이면, $\displaystyle \alpha$는 단근이고 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 감소하므로 $\displaystyle g(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)<0$이다. 한편 $\displaystyle f(\alpha)=f(\beta)=0$와 제시문의 사실(나)(또는 롤의 정리)에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(\gamma)=0$인 실수 $\displaystyle \gamma$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$ 사이에 적어도 하나 존재하고 $\displaystyle f(\gamma)$는 음수, $\displaystyle g(\gamma)=-f(\gamma)>0$이므로 다시 한번 사잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \gamma$ 사이에 $\displaystyle g(x)$의 실근이 존재한다.

[문제 2-2] (10점) $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)-af(x)$라 놓으면 제시문의 사실 (라)에 의하여 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle n$개의 실근을 갖는다.

$\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=f^{\prime\prime}(x)-(a+b)f^{\prime}(x)+abf(x)\\&=(f^{\prime}(x)-af(x))^{\prime}-b(f^{\prime}(x)-af(x))\\&=g^{\prime}(x)-bg(x)\end{aligned}$이므로, 사실 (라)를 $\displaystyle g(x)$에 대하여 다시 적용하면 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle n$개의 실근을 갖는다는 결론에 이른다.

[문제 2-3] (10점) $\displaystyle c=d=1$ 그리고 $\displaystyle f(x)=x^2+1$이라 놓는다.

$\displaystyle f(x)$는 허근 $\displaystyle \pm i$를 가지므로 문제의 [조건 1]을 만족한다.

한편 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2$이므로$\displaystyle h(x)=x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$이다. $\displaystyle h(x)$는 두 실근 1, 3을 가지므로 [조건 2]를 만족한다.