자연계열 1번 (논제 3·4)

[제시문 (나)]

그림 2(a)와 같이 한 변의 길이가 $\displaystyle a$인 정육면체 모양의 단위체들이 공간에 빈틈없이 모든 방향으로 일렬로 놓여 있다. 그림 2(b)는 정육면체 모양의 단위체 한 개를 나타낸 그림으로, 이 그림과 같이 정육면체의 여덟 개의 각 꼭지점과 여섯 개의 각 면의 중심에 동일한 크기의 단단한 공들을 둔다고 하자. 여기서 그림 2(b)에 표시된 점들은 공들의 중심이 놓이는 위치를 나타낸다. 그림 2(c)는 그림 2(b)에 있는 정육면체의 한 면을 2차원으로 나타낸 그림이다. (※ 주의: 여기서 ‘정육면체’는 주사위나 상자와 같은 물리적 물체가 아니라 공이 놓이는 공간적 위치를 나타내는 기하학적인 단위를 의미함.)

[논제 3] 위의 그림과 같이 공들로 공간을 채울 때, 공들이 공간을 차지하는 부피가 최대가 되도록 하려면, 공의 반지름 $\displaystyle R$을 얼마로 해야 되겠는가? 이 조건을 만족하는 $\displaystyle R$의 길이 및 공의 크기를 그림 2(c)를 참조하여 도면으로 그리시오. 그리고 $\displaystyle R$을 $\displaystyle a$의 관계식으로 구하시오.

[논제 4] 공들이 공간을 차지하는 부피가 최대가 되도록 채웠을 경우, 한 개의 정육면체 속에서 공들이 차지하는 부피를 구하되, 이 값을 정육면체의 부피 $\displaystyle a^3$에 대한 상대적 부피 비율로 나타내시오. (답에 $\displaystyle \sqrt{\phantom{a}}$ 값이나 $\displaystyle \pi$ 값이 나오더라도 숫자로 환산하지 말고 그대로 두시오.)