자연계열 1번

[제시문]

물체의 자유낙하 운동에 대하여 아리스토텔레스와 갈릴레오는 아래와 같이 서로 다른 주장을 하였다.

아리스토텔레스: 무게가 다른 두 물체를 같은 높이에서 동시에 자유낙하 시키면 무거운 물체가 땅에 먼저 떨어진다.

갈릴레오: 자유낙하 운동은 물체의 무게(혹은 질량)와 관계없다. 무게가 서로 다른 물체를 같은 높이에서 동시에 자유낙하 시킬 경우 공기의 저항을 무시한다면 두 물체는 동시에 땅에 떨어진다.

오늘날 우리는 갈릴레오의 주장이 옳다는 것을 알고 있다. 하지만 실험정신이 강한 두 학생이 이를 직접 확인하고자 실험을 수행하였고 그 실험 내용과 결과를 간략히 정리하면 아래와 같다.

실험 내용 및 방법: 모양과 크기는 같지만 질량이 $\displaystyle M_A,M_B\;(M_A>M_B)$로 서로 다른 두 물체를 같은 높이에서 정지한 상태에서 동시에 자유낙하 시키면서 일정 시간마다 두 물체의 속도를 측정하였다.

실험 결과: 질량이 $\displaystyle M_A$인 물체가 더 빨리 지면에 도착하였다($\displaystyle t_A<t_B$, 아래 그래프 참조). 측정된 속도의 크기($\displaystyle v$)를 시간($\displaystyle t$)에 따라 정리하면 아래 그래프와 같다.

또한, 두 학생은 위 결과를 수치적으로 분석하여 측정된 속도의 크기($\displaystyle v$)가 시간($\displaystyle t$)의 함수로 다음과 같이 표현된다는 것을 알게 되었다.

$\displaystyle v(t)=g\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-k)^{n-1}}{n!}t^n\quad\cdots\cdots(1)$

위 식(1)에서 $\displaystyle k=1/m\;(m=M_A\text{ 혹은 }M_B)$이고 $\displaystyle g$는 중력가속도이다. 그래프에서 검은 원들과 흰 원들은 측정 결과이고, 점선들은 식(1)을 이용하여 얻은 계산 결과이다. 두 학생은 위의 결과로부터 동일한 실험을 아주 높은 곳에서 수행할 경우 속도의 변화율이 점점 감소하여 0이 되는, 다시 말하면 종단속도에 도달한다는 사실도 알 수 있었다.

이상의 실험 결과를 토대로 두 학생은 장시간의 토론 후에 아래와 같이 서로 다른 결론에 도달하였다.

학생 1: 질량이 큰 물체가 분명히 지면에 더 빨리 도착하였으므로 당연히 아리스토텔레스의 주장이 옳다.

학생 2: 질량이 큰 물체가 먼저 지면에 도착한 것은 사실이다. 하지만, 위의 그래프를 살펴보면 두 물체의 속도가 차이가 나는 것은 어느 정도의 시간이 경과한 후이며 초기에는 질량과 무관하게 같은 크기의 속도로 운동하고 있다. 따라서 갈릴레오의 주장이 맞으며, 시간이 갈수록 낙하하는 두 물체의 속도가 차이가 나게 되는 것은 공기 저항 때문이다.