약학과 2번

제시문 (ㄱ)의 (가)에 의해 $\displaystyle \alpha\ne f(\alpha)$이고 점 $\displaystyle A(\alpha,f(\alpha)),\;B(f(\alpha),\alpha)$에 대하여 $\displaystyle \overline{AB}$의 중점은 $\displaystyle (p,p)$로 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있다.

(1) $\displaystyle \alpha<f(\alpha)$일 때$\displaystyle f(\alpha)=\alpha+4$이므로 점 $\displaystyle A,B$는 각각 $\displaystyle A(\alpha,\alpha+4),\;B(\alpha+4,\alpha)$이고 $\displaystyle p=\alpha+2$이다.$\displaystyle g(-2)=f(p-2)-p=f(\alpha)-\alpha-2=2$$\displaystyle g(2)=f(p+2)-p=f(f(\alpha))-\alpha-2=\alpha-\alpha-2=-2$이므로$\displaystyle g(-2)=4a-2b-20=2$ --- ①$\displaystyle g(2)=4a+2b+28=-2$ --- ②이고, ①+②에서 $\displaystyle a=-1$, ②−①에서 $\displaystyle b=-13$, 즉$\displaystyle g(x)=3x^3-x^2-13x+4$이다.

$\displaystyle \int_0^2g(x)dx=\int_0^2(3x^3-x^2-13x+4)dx=-\frac{26}3$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_p^{f(\alpha)}f(x)dx&=\int_{\alpha+2}^{\alpha+4}f(x)dx\\&=\int_{\alpha+2}^{\alpha+4}(g(x-\alpha-2)+\alpha+2)dx\\&=\int_0^2g(x)dx+2(\alpha+2)\\&=-\frac{26}3+2\alpha+4=12\end{aligned}$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \alpha=\frac{25}3$이다.

(2) $\displaystyle \alpha>f(\alpha)$일 때$\displaystyle f(\alpha)=\alpha-4$이므로 점 $\displaystyle A,B$는 각각 $\displaystyle A(\alpha,\alpha-4),\;B(\alpha-4,\alpha)$이고 $\displaystyle p=\alpha-2$이다.$\displaystyle g(-2)=f(p-2)-p=f(f(\alpha))-\alpha+2=2$$\displaystyle g(2)=f(p+2)-p=f(\alpha)-\alpha+2=-2$이므로$\displaystyle g(-2)=4a-2b-20=2$$\displaystyle g(2)=4a+2b+28=-2$이므로 (1)에서와 마찬가지로 $\displaystyle g(x)=3x^3-x^2-13x+4$임을 알 수 있다.

$\displaystyle \int_0^{-2}g(x)dx=\int_0^{-2}(3x^3-x^2-13x+4)dx=-\frac{58}3$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_p^{f(\alpha)}f(x)dx&=\int_{\alpha-2}^{\alpha-4}f(x)dx\\&=\int_{\alpha-2}^{\alpha-4}(g(x-\alpha+2)+\alpha-2)dx\\&=\int_0^{-2}g(x)dx-2(\alpha-2)\\&=-\frac{58}3-2\alpha+4=12\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=-\frac{41}3$이다.모든 경우를 고려하였으므로 가능한 $\displaystyle \alpha$의 값은 $\displaystyle -\frac{41}3,\frac{25}3$이다.