자연계열 1번

(가) ‘평면에서 직선 밖의 점을 지나 주어진 직선에 평행한 직선은 오직 하나 그을 수 있다’라는 명제는 증명 없이도 바르다고 판단되는 명제이다. 이렇게 너무나 당연해서 증명이 필요 없는 명제를 공리(公理)라고 한다. 이 평행공리로부터 다음과 같은 명제를 증명할 수 있다.

• 평면에서 두 직선이 이들을 지나는 직선과 직각을 이루면 두 직선은 서로 만나지 않는다.

• 평면에 있는 삼각형의 내각의 합은 180°이다.

(나) 지도를 만들기 위해 반지름이 R인 구형(球形)의 지구본의 중심 O를 삼차원 $\displaystyle xyz$공간의 원점 (0,0,0)에 놓고 지구본 위의 점 P를 $\displaystyle xy$평면 위의 점 P'과 일대일 대응시킨다. 보다 구체적으로 북극에 해당하는 점 N (0,0,R)과 지구본 위의 한 점 P를 지나는 직선 l과 $\displaystyle xy$평면과의 교점이 P'이다. (그림 1 참조). 이 때 $\displaystyle xy$평면이 평면지도가 된다. 이러한 지도 작성 방법을 입체투영법이라고 한다.

(다) 지구는 반지름이 6,370km인 구(球)라고 생각할 수 있다. 지표면 위의 두 점을 잇는 최단거리가 되는 경로는 우리가 생각하는 것과 다르다. 예를 들어 대한민국의 서울과 미국의 샌프란시스코의 최단경로를 지도에 옮겨보면 반드시 직선이 되는 것은 아니다. (그림 2 참조). 실제로 두 도시의 최단경로는 두 도시를 지나는 대원(大圓) 위에 있는 경로이다. 지표면 위의 두 점 A와 B를 지나는 대원이란, 원의 중심이 지구의 중심 O이고 지표면 위의 두 점 A와 B를 지나는 원을 의미한다. 지구 지표면 위에서 대원 상에 있는 경로를 측지선이라고 한다.

(라) 지구의 지표면 위의 삼각형의 내각의 합을 S라고 하자. 지표면에 있는 세 점으로 이루어진 삼각형이란 지표면의 세 점과 이 점들을 측지선으로 이은 도형을 말한다. 학교 운동장에 그린 삼각형의 내각의 합은 실험오차를 무시하면 180°이다. 하지만 지표면 위의 삼각형의 면적을 증가시키다보면 삼각형 내각의 합이 180°를 넘을 수 있다.