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창의형 경영경제계열 3번

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중앙대 2027학년도 모의 창의형 경영경제계열 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2027mo/changui_gyeongyeong_3

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문제

어느 기업의 제품 생산 공정에 대한 경제적 가치를 산출하는 방식은 다음과 같다. 이 상황에 기초하여 문제에 답하시오. (풀이 과정 포함)

• 이 공정에서 생산되는 제품은 에너지 효율에 따라 1, 2, 3 (등급) 중 하나로 판정된다. 등급 변동성을 평가하기 위해 임의추출한 3개 제품의 등급을 각각 판정한 후, 이 중 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수 X\displaystyle X라 하고 그 기댓값을 E\displaystyle E라 하자. (단, 각 등급으로 판정될 확률은 동일하다.)

• 이 공정에서 생산되는 제품의 성능지표는 평균이 m\displaystyle m이고 표준편차가 4인 정규분포를 따른다고 하자. 생산된 제품 중 10개를 새롭게 임의추출할 때, 성능지표의 표본평균을 Y\displaystyle Y라고 하자.

• 이 공정의 경제적 가치 V\displaystyle V는 다음과 같이 정의된다.V=10Y2−aE−20m\displaystyle V=10Y^2-aE-20m (단, a>0\displaystyle a>0인 실수)

• 관리자는 1≤m≤10\displaystyle 1\le m\le10인 범위에서 평균 m\displaystyle m을 전략적으로 결정할 수 있다.

[문제 3] 관리자가 V\displaystyle V의 기댓값을 최대화하도록 m\displaystyle m을 선택했을 때, V\displaystyle V의 기댓값이 800 이상이 되도록 하는 a\displaystyle a의 최댓값을 구하시오. [20점, 원고지 작성법을 준수할 필요 없음]

해설강의 준비중

중앙대 2027학년도 모의 창의형 경영경제계열 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2027mo/changui_gyeongyeong_3

+8점 · 확률변수 X\displaystyle X의 기댓값을 올바르게 계산한 경우

▶ 확률변수 X\displaystyle X는 가질 수 있는 값이 0,1,2뿐이며, 전체 경우의 수는 33=27\displaystyle 3^3=27개이다.

- X=0\displaystyle X=0인 경우: 3개 제품의 등급이 모두 동일한 경우이므로 총 3가지이다.P(X=0)=327=19\displaystyle P(X=0)=\frac3{27}=\frac19

- X=2\displaystyle X=2인 경우: 1과 3이 모두 적어도 한 번 나와야 한다.• 1이 두 번, 3이 한 번 나오는 경우 → 3가지• 1, 2, 3이 한 번씩 나오는 경우 → 6가지• 1이 한 번, 3이 두 번 나오는 경우 → 3가지P(X=1)=3+6+327=49\displaystyle P(X=1)=\frac{3+6+3}{27}=\frac49Correction. 이 줄의 P(X=1)\displaystyle P(X=1)은 P(X=2)\displaystyle P(X=2)의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

- X=1\displaystyle X=1인 경우P(X=1)=1−P(X=0)−P(X=2)=1−19−49=49\displaystyle P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-\frac19-\frac49=\frac49

▶ 따라서, 확률변수 X\displaystyle X의 확률분포표는 다음과 같다.

x012P(X=x)194949\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}x&0&1&2\\\hline P(X=x)&\frac19&\frac49&\frac49\end{array}

이를 통해 확률변수 X\displaystyle X의 기댓값은 E=0×19+1×49+2×49=43\displaystyle E=0\times\frac19+1\times\frac49+2\times\frac49=\frac43로 구해진다.

+7점 · 확률변수 Y\displaystyle Y의 분포를 올바르게 구하고, 평균 분산 공식을 이용하여 E(Y2)\displaystyle E(Y^2)을 올바르게 계산한 경우

제품의 성능지표를 확률변수 Z\displaystyle Z라 하면, Z∼N(m,16)\displaystyle Z\sim N(m,16)이고, 임의추출한 10개 제품의 성능지표 표본평균인 Y\displaystyle Y는 Y∼N(m,1610)\displaystyle Y\sim N\left(m,\frac{16}{10}\right)이다. 따라서,E(Y2)=Var(Y)+{E(Y)}2=1610+m2\displaystyle E(Y^2)=Var(Y)+\{E(Y)\}^2=\frac{16}{10}+m^2이다.

+5점 · V\displaystyle V의 기댓값을 m\displaystyle m에 대한 이차함수 형태로 올바르게 구하고 최댓값을 올바르게 구한 경우

▶ V\displaystyle V의 기댓값은 다음과 같이 계산된다.E(V)=E(10Y2−43a−20m)=10E(Y2)−43a−20m=10m2−20m+16−43a\displaystyle E(V)=E\left(10Y^2-\frac43a-20m\right)=10E(Y^2)-\frac43a-20m=10m^2-20m+16-\frac43a이는 m=1\displaystyle m=1에서 최솟값을 가지는 이차함수 형태이므로, 1≤m≤10\displaystyle 1\le m\le10 범위에서 최댓값은 m=10\displaystyle m=10에서 발생한다.

▶ m=10\displaystyle m=10일 때의 E(V)\displaystyle E(V)값은 816−43a\displaystyle 816-\frac43a이므로,816−43a≥800\displaystyle 816-\frac43a\ge800a≤12\displaystyle a\le12이다. 따라서 a\displaystyle a의 최댓값은 12이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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