자연계열 3번

미생물 배양시간과 배양된 미생물 개체수 간의 상관관계, 혈액형과 간염발생 빈도 간의 상관관계, 남녀 성별과 쇼핑시간의 상관관계 등과 같이 두 자료 간의 상관관계 여부를 판단하는 데 통계 분석법이 많이 활용되고 있다. 이러한 상관관계는 자료의 유형에 따라 다르게 측정된다.

자료의 유형은 계량적으로 의미가 있는 경우와 없는 경우로 나누어 각각 수치형 자료와 범주형 자료로 구분한다. 예를 들면, 질량, 속도, 부피와 같은 자료는 계량적으로표현이 되어 값의 차이가 의미를 지니는 수치형 자료이고, 이에 반해, 성별, 혈액형, 거주형태와 같은 자료는 계량적으로 표현되지 않아 값의 차이는 의미가 없는 범주형 자료이다. 두 자료 간의 상관관계를 밝히기 위해서는 자료의 유형을 구분한 후, 그에 따른 적절한 통계 분석법을 사용해야 한다.

두 자료가 모두 수치형인 경우, 두 자료의 상관관계는 이들 간의 선형적인 관계로 측정한다. 선형관계는 두 자료 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$에 대해 선형식 $\displaystyle y=\beta_o+\beta_1x$가 성립하는 $\displaystyle \beta_0$와 $\displaystyle \beta_1$이 존재함을 의미한다. 선형관계의 정도를 측정하기 위한 척도로 상관계수를 이용한다. 상관계수 $\displaystyle r$$\displaystyle (-1\le r\le1)$ 값이 -1 또는 1에 가까우면 선형관계의 정도가 높고, 0에 가까우면 선형관계의 정도가 낮다. 그리고 상관계수가 양수이면 직선의 기울기는 양수이고, 상관계수가 음수이면 직선의 기울기는 음수다. 이를 그래프로 확인하면 다음과 같다.Correction. 선형식의 상수항 $\displaystyle \beta_o$는 $\displaystyle \beta_0$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그래프에서 점은 $\displaystyle (x,y)$를 의미하고, 직선은 자료의 경향을 설명한다. 그래프 (a)와 (b)의 경우 그 관계는 $\displaystyle x$값이 증가함에 따라 $\displaystyle y$값이 증가하는 관계를 보여주고, 이때의 상관계수는 0과 1사이의 값이다. 또한 (a)의 경우는 (b)에 비해 자료들이 직선에 더 가깝게 있기 때문에 (a)의 상관계수가 (b)의 상관계수보다 더 크다. 그래프 (c)와 (d)는 자료의 경향을 나타내는 직선의 기울기가 음수이므로 상관계수는 -1에서 0 사이의 값인데, (c)의 자료들이 직선에 더 가까이 위치하므로 (c)의 상관계수가 (d)의 상관계수보다 -1에 더 가깝다.

두 자료가 모두 범주형인 경우에는 이들 간의 상관관계를 상관계수로 밝힐 수 없다. 예를 들어 혈액형과 간염발생여부의 상관관계를 밝히는 경우를 생각해 보자. 혈액형인 경우 자료의 값은 A, B, AB, O 중의 하나이고, 간염발생여부인 경우 자료의 값은 Yes, No 중의 하나일 것이다. 혈액형과 간염발생여부와의 상관관계를 계산하기 위해서는 혈액형과 간염발생여부의 도수(빈도)를 계산하여 다음과 같은 도수분포표를 작성한 후 $\displaystyle \chi^2$검정을 이용하여 상관관계를 밝힌다.

왼쪽 도수분포표는 간염발생여부에 관계 없이 혈액형별 도수는 A형과 O형일 때 가장 작고, B형일 때 가장 크고, AB형일 때 중간 값을 갖는다. 이런 경우 간염발생과 혈액형은 상관관계가 없다. 그러나 오른쪽 도수분포표에서는 간염발생여부에 따라 혈액형별 도수가 상이한 형태를 보여 상관관계가 있다. 즉, Yes인 경우는 A형과 O형일 때 가장 작고 B형일 때 가장 크고 AB형일 때 중간 값을 갖지만, No인 경우는 A형과 O형일 때 가장 크고 B형일 때 가장 작고 AB형일 때 중간 값을 갖는 상이한 형태를 보인다. 이처럼 도수 분포를 통계적으로 비교하는 방법이 $\displaystyle \chi^2$검정이다.

두 자료 중 하나는 범주형 자료($\displaystyle x$)이고 다른 하나는 수치형 자료($\displaystyle y$)일 때, 두 자료 간의 상관관계 여부는 $\displaystyle x$의 범주별로 계산된 $\displaystyle y$의 평균에 대한 t검정으로 비교하여 판단한다. 남녀의 음주량을 비교하는 경우에 성별 $\displaystyle x$의 범주는 남성과 여성이다. 남성과 여성의 평균 음주량에 차이를 t검정으로 확인하여, t검정 결과 차이가 있다면 두 자료 성별과 음주량 사이에는 상관관계가 존재한다.