자연계열 2번

프랙털은 부분이 전체를 닮은 자기유사성을 특징으로 갖는 도형으로서 1975년 만델브로트에 의하여 이름이 지어졌다. 칸토어의 집합, 코흐 곡선, 시어핀스키 삼각형 등은 인공적인 프랙털의 예이며, 인간의 폐와 대뇌, 식물의 가지와 잎, 토성의 고리 등은 자연에서 찾아 볼 수 있는 프랙털의 예이다.

<그림 1>에서 보는 것처럼 주어진 선분을 3등분하여 중간의 $\displaystyle \frac13$을 제외하여 2개의 선분을 얻고(1단계), 다음 단계에서는 이전 단계에서 얻은 각 선분을 다시 각각 3등분하여 중간의 $\displaystyle \frac13$씩을 제외한다. 이러한 반복 알고리듬을 무한히 적용하여 얻은 집합을 칸토어 집합이라고 한다.

<그림 1>

<그림 2>

<그림 2>에서 보는 것처럼 왼쪽 열의 도형을 2배로 확대하면 오른쪽 열의 도형을 얻는데 이 때 각각 2, 4, 8개의 단위도형이 필요하다. 이 각각의 경우가 1, 2, 3 차원에 해당하는데,

$\displaystyle (\text{배율})^{\text{차원}}=\text{단위도형의 수}$

를 만족하므로 더 일반적인 집합에 대해서도 다음과 같이 차원을 정의할 수 있다.

$\displaystyle \text{차원}=\log_{\text{배율}}\text{단위도형의 수}=\frac{\log\text{단위도형의 수}}{\log\text{배율}}$

프랙털에 대해서도 차원을 위와 같이 정의하고 프랙털 차원이라고 한다.

예를 들어, 위에서 정의한 칸토어 집합을 3배로 확대하여 얻어진 집합은 원래 칸토어 집합 2개로 만들 수 있으므로, 칸토어 집합의 프랙털 차원은 $\displaystyle \frac{\log2}{\log3}\approx0.6309$이다. ($\displaystyle \log2=0.3010,\ \log3=0.4771$로 계산한다.)