자연계열 1번

[문제 1]위로부터 $\displaystyle k$ 번째 층($\displaystyle k=1,2,\cdots,n$)의 보석 상자의 개수는 $\displaystyle k$ 이므로, 전체 상자의 개수는$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac12n(n+1)$ 이다.

[문제 2]위로부터 $\displaystyle k$ 번째 층까지 있는 보석 상자 전체의 개수는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{k}i=\frac12k(k+1)$이고, 이 보석 상자들을 모두 채우는데 필요한 다이아몬드의 개수 $\displaystyle a_k$ 는$\displaystyle a_k=\sum_{i=1}^{\frac12k(k+1)}i=\frac12\cdot\frac12k(k+1)\cdot\left\{\frac12k(k+1)+1\right\}=\frac18k(k+1)(k^2+k+2)$이므로, 위로부터 $\displaystyle k$ 번째 층의 보석 상자들을 채우는데 필요한 다이아몬드의 개수 $\displaystyle b_k$ 는$\displaystyle \begin{aligned}b_k&=a_k-a_{k-1}=\frac18k(k+1)(k^2+k+2)-\frac18(k-1)k\{(k-1)^2+(k-1)+2\}\\&=\frac18k\{(k+1)(k^2+k+2)-(k-1)(k^2-k+2)\}\\&=\frac18k(4k^2+4)=\frac12k(k^2+1)\end{aligned}$이다. 따라서 위에서부터 $\displaystyle n$ 번째 층인 $\displaystyle 1$ 층의 보석 상자들을 채우는데 필요한 다이아몬드의 개수는 $\displaystyle b_n=\frac12n(n^2+1)$ 이다.

[문제 3]위로부터 $\displaystyle k$ 번째 층에 있는 다이아몬드의 개수가 $\displaystyle b_k=\frac12k(k^2+1)$ 이므로, 홀수 층 전체에 있는 다이아몬드의 개수는$\displaystyle \begin{aligned}b_1+b_3+\cdots+b_n&=b_{2\cdot1-1}+b_{2\cdot2-1}+\cdots+b_{2\cdot\frac{n+1}{2}-1}=\sum_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}b_{2k-1}\\&=\sum_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}\frac12(2k-1)\{(2k-1)^2+1\}=\sum_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}(2k-1)(2k^2-2k+1)=\sum_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}(4k^3-6k^2+4k-1)\\&=4\cdot\frac14\left(\frac{n+1}{2}\right)^2\left(\frac{n+1}{2}+1\right)^2-6\cdot\frac16\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{n+1}{2}+1\right)\left(2\cdot\frac{n+1}{2}+1\right)\\&\quad+4\cdot\frac12\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{n+1}{2}+1\right)-\frac{n+1}{2}\\&=\frac1{16}(n+1)^2(n+3)^2-\frac14(n+1)(n+3)(n+2)+\frac12(n+1)(n+3)-\frac12(n+1)\\&=\frac1{16}(n+1)\{(n+1)(n+3)^2-4(n+2)(n+3)+8(n+3)-8\}\\&=\frac1{16}(n+1)(n^3+3n^2+3n+1)=\frac1{16}(n+1)^4\end{aligned}$이다.