Pre-Pharm·Med 2번

[문제 1] $\displaystyle x^x=e^{x\ln x}$ 이므로, $\displaystyle \lim_{x\to+0}x^x=\lim_{x\to+0}e^{x\ln x}=e^{\lim_{x\to+0}x\ln x}=e^0=1$ 이다.

[문제 2] $\displaystyle f(x)=x^x$ 라고 놓으면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=(e^{x\ln x})^{\prime}=e^{x\ln x}(x\ln x)^{\prime}=x^x(1+\ln x)$ 이다. $\displaystyle 1+\ln e^{-1}=0$ 이고, $\displaystyle 0<x<e^{-1}$ 일 때 $\displaystyle 1+\ln x<0$, $\displaystyle x>e^{-1}$ 일 때 $\displaystyle 1+\ln x>0$ 이므로, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle 0<x<e^{-1}$ 일 때 감소, $\displaystyle x>e^{-1}$ 일 때 증가한다. 따라서 $\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle f(x)=x^x$ 은 $\displaystyle x=e^{-1}$ 에서 최소값 $\displaystyle f(e^{-1})=(e^{-1})^{(e^{-1})}=\left(\frac1e\right)^{\left(\frac1e\right)}$ 을 가진다.

[문제 3] $\displaystyle g(x)=x^{x^x}=x^{f(x)}$ 라고 놓으면,$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=(e^{f(x)\ln x})^{\prime}=e^{f(x)\ln x}\cdot(f(x)\ln x)^{\prime}=x^{x^x}\left(f^{\prime}(x)\ln x+f(x)\frac1x\right)\\&=x^{x^x}\left\{x^x(1+\ln x)\ln x+x^x\cdot\frac1x\right\}=x^{x^x}x^x\left\{(1+\ln x)\ln x+\frac1x\right\}\\&=g(x)f(x)\left\{(1+\ln x)\ln x+\frac1x\right\}.\end{aligned}$$\displaystyle g^{\prime}(e^{-1})=g(e^{-1})f(e^{-1})\left\{(1+\ln e^{-1})\ln e^{-1}+\frac1{e^{-1}}\right\}=g(e^{-1})f(e^{-1})e\ne0$이므로 $\displaystyle g(x)=x^{x^x}$ 의 최소값은 $\displaystyle g(e^{-1})$ 보다 작다. $\displaystyle g(e^{-1})=(e^{-1})^{(e^{-1})^{(e^{-1})}}$ 과 $\displaystyle f(x)=x^x$ 의 최소값 $\displaystyle f(e^{-1})=(e^{-1})^{(e^{-1})}$ 을 비교하면,$\displaystyle \frac{g(e^{-1})}{f(e^{-1})}=\frac{(e^{-1})^{(e^{-1})^{(e^{-1})}}}{(e^{-1})^{(e^{-1})}}=(e^{-1})^{\{(e^{-1})^{(e^{-1})}-e^{-1}\}}=e^{\{e^{-1}-(e^{-1})^{(e^{-1})}\}}<1$$\displaystyle \left(\frac{e^{-1}}{(e^{-1})^{(e^{-1})}}=(e^{-1})^{(1-e^{-1})}=e^{\left(\frac1e-1\right)}=e^{\left(\frac{1-e}{e}\right)}<1\right)$,즉 $\displaystyle g(e^{-1})<f(e^{-1})$ 이다. 따라서 $\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle x^{x^x}$ 의 최소값은 $\displaystyle x^x$ 의 최소값보다 작다.