자연계열 1번

【문제 1】① $\displaystyle t$ 시점의 원금이 $\displaystyle A(t)$이고, 이자는 $\displaystyle A\left(t+\frac1m\right)-A(t)$이 되므로$\displaystyle \frac{r_m}m=\frac{A\left(t+\frac1m\right)-A(t)}{A(t)}$ 이 된다.

② 연이율 $\displaystyle r_1$이나 명목이율 $\displaystyle r_m$에 대한 1년 후의 원리합계가 같아야 하므로$\displaystyle (1+r_1)=\left(1+\frac{r_m}m\right)^m$이 된다. 따라서 이항전개에 의하여$\displaystyle \left(1+\frac{r_m}m\right)^m=1+m\cdot\frac{r_m}m+\frac{m(m-1)}{2!}\left(\frac{r_m}m\right)^2+\cdots+\left(\frac{r_m}m\right)^m$ 을 얻는다.그러므로 $\displaystyle 1+r_1=\left(1+\frac{r_m}m\right)^m=1+r_m+\frac{m-1}2(r_m)^2+\cdots$.따라서 $\displaystyle r_1=r_m+\frac{m-1}2r_m^2+\cdots>r_m$, $\displaystyle m\geq2$.Correction. 이항전개를 정리한 두 식의 $\displaystyle \frac{m-1}{2}r_m^2$는 $\displaystyle \frac{m-1}{2m}r_m^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

③ ①로부터 $\displaystyle \frac{r_m}m=\frac{A\left(t+\frac1m\right)-A(t)}{A(t)}$ 이므로$\displaystyle r_m=\frac{m\times\left[A\left(t+\frac1m\right)-A(t)\right]}{A(t)}=\frac{\left(\frac{A\left(t+\frac1m\right)-A(t)}{1/m}\right)}{A(t)}$이 된다.$\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{A\left(t+\frac1m\right)-A(t)}{\frac1m}=A^{\prime}(t)$ 이므로 $\displaystyle \lim_{m\to\infty}r_m=\frac{A^{\prime}(t)}{A(t)}$이 된다.

【문제 2】① 1억원을 연이율 $\displaystyle 10\%(=r_1)$로 5년 만기 대출을 했을 때 만기 시 원리합계는$\displaystyle 100,000,000\times(1+0.1)^5$원이 된다.

② 매월 초 $\displaystyle a$ 원을 이율 $\displaystyle r_{12}=6\%$로 5년짜리 예금을 들었을 때 원리합계는 다음과 같다.$\displaystyle r_{12}=6\%$이므로 $\displaystyle \frac{r_{12}}{12}=\frac{6\%}{12}=0.005$가 된다. 이제 매월 초에 예금에 대한 원리합계는 다음과 같다.첫 번째 달초의 예금 $\displaystyle a$ 에 대한 원리합계는 $\displaystyle a(1+0.005)^{12\times5}=a(1+0.005)^{60}$두 번째 달초의 예금 $\displaystyle a$ 에 대한 원리합계는 $\displaystyle a(1+0.005)^{12\times5-1}=a(1+0.005)^{59}$…마지막으로 예금하는 달초의 예금 $\displaystyle a$ 에 대한 원리합계는 $\displaystyle a(1+0.005)$ 이 된다.

따라서 5년 후 예금된 총 원리합계는$\displaystyle \begin{aligned}&a\times(1+0.005)+a\times(1+0.005)^2+\cdots+a\times(1+0.005)^{60}\\&=a\times(1.005)[1+1.005+\cdots+(1.005)^{59}]\\&=a\times(1.005)\frac{1.005^{60}-1}{1.005-1}\end{aligned}$

③ ① ≤ ②이 되는 최소한의 $\displaystyle a$를 찾아야 한다. 따라서$\displaystyle 100,000,000\times(1+0.1)^5\leq a\times(1.005)\frac{1.005^{60}-1}{0.005}$으로부터 $\displaystyle a$에 대한 부등식을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow a&\geq\frac{(100,000,000)\times(1.1)^5\times(0.005)}{(1.005)\times[(1.005)^{60}-1]}=\frac{800,000}{1.005\times0.35}=\frac{800,000}{0.35175}\\&=2,274,343\equiv2,280,000\end{aligned}$원이 된다. 따라서 구하는 $\displaystyle a$의 값은 228만원이다.

⓸ ⓶에서와 비슷하게첫 번째 달초의 예금 $\displaystyle b$ 에 대한 원리합계는 $\displaystyle b(1+0.005)^{12\times5}=b(1.005)^{60}$두 번째 달초의 예금 $\displaystyle b$ 에 대한 원리합계는 $\displaystyle b(1+0.005)^{12\times5-1}=b(1.005)^{59}$세 번째 달초의 예금 $\displaystyle b$ 에 대한 원리합계는 $\displaystyle b(1+0.005)^{12\times5-2}=b(1.005)^{58}$...열두 번째 달초의 예금 $\displaystyle b$ 에 대한 원리합계는 $\displaystyle b(1+0.005)^{12\times5-11}=b(1.005)^{49}$대출이 시점으로부터 1년 후 매월 100,000원씩 추가 되므로Correction. “100,000원씩”은 “10,000원씩”의 오기이다. 이어지는 계산에는 10,000원씩 늘어나는 예금액이 사용되었다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.첫 번째 달(열세 번째 달)초의 예금 $\displaystyle b$ 에 대한 원리합계는$\displaystyle (b+10,000)(1+0.005)^{12\times5-12}=(b+10,000)(1.005)^{48}$두 번째 달(열세 번째 달)초의 예금 $\displaystyle b$ 에 대한 원리합계는Correction. “두 번째 달(열세 번째 달)”은 “두 번째 달(열네 번째 달)”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (b+20,000)(1+0.005)^{12\times5-13}=(b+20,000)(1.005)^{47}$...마지막으로 예금하는 달초의 예금 $\displaystyle b$ 에 대한 원리합계는$\displaystyle (b+480,000)(1+0.005)=(b+480,000)(1.005)$

따라서 5년 후 예금된 총 원리합계는$\displaystyle b(1.005)^{60}+b(1.005)^{59}+\cdots+b(1.005)+$ ⋯⋯ (ⅰ)$\displaystyle (10,000)(1.005)^{48}+(20,000)(1.005)^{47}+\cdots+(480,000)(1.005)$⋯ (ⅱ)

(ⅰ)의 값은 ②에서 얻은 값과 같이 계산된다. 따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle b\times(1.005)\frac{1.005^{60}-1}{1.005-1}$.

(ⅱ)의 값을 구하자. 이 식의 값을 $\displaystyle S$라 하면 다음을 얻는다.$\displaystyle S=(10,000)(1.005)^{48}+(20,000)(1.005)^{47}+\cdots+(480,000)(1.005)$$\displaystyle (1.005)S=(10,000)(1.005)^{49}+(20,000)(1.005)^{48}+\cdots+(480,000)(1.005)^2$아래 식에서 위 식을 빼면$\displaystyle \begin{aligned}(0.005)S&=(10,000)(1.005)^{49}+(10,000)(1.005)^{48}+\cdots\\&\quad+(10,000)(1.005)^2-(480,000)(1.005)\\&=(10,000)(1.005)^{49}+(10,000)(1.005)^{48}+\cdots\\&\quad+(10,000)(1.005)-(490,000)(1.005)\end{aligned}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle S$의 값을 구하면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\therefore\ S&=\frac1{0.005}\times10,000\times(1.005)([1+1.005+\cdots+1.005^{48}]-490,000)\\&=\frac{1.005}{0.005}\times10,000\times\left(\frac{1.005^{49}-1}{1.005-1}-49\right)\\&=201\times10,000\times7\\&=14,070,000\end{aligned}$Correction. $\displaystyle 10,000$을 밖으로 묶은 첫 식의 괄호 안 $\displaystyle 490,000$은 $\displaystyle 49$의 오기이다. 다음 줄에는 올바르게 적혀 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle b$를 구하기 위하여 (ⅰ)과 (ⅱ)를 더하고 아래의 절차를 거치면 구하는 값을 얻을 수 있다.따라서$\displaystyle 100,000,000\times(1+0.1)^5=b\times(1.005)\frac{1.005^{60}-1}{1.005-1}+S$$\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow b&=\frac{[100,000,000\times(1+0.1)^5-S]\times0.005}{(1.005)[1.005^{60}-1]}\\&=\frac{(160,000,000-14,070,000)\times0.005}{1.005\times0.35}\\&=\frac{145930000\times0.005}{0.35175}\\&=\frac{729650}{0.35175}\\&=2,074,343\\&\equiv2,080,000\end{aligned}$원