자연계열 2번

【문제 1】 용기에 담긴 물의 부피 $\displaystyle V$는 [그림 1]에서 빗금 친 부분의 면적 $\displaystyle S$에 $\displaystyle d$를 곱한 양이다.

이 때 수면은 한 변의 길이가 $\displaystyle d$인 직사각형의 모양이다. 수면의 다른 한 변의 길이의 반을 $\displaystyle l$이라고 하면 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=2l\times al^2-\int_{-l}^l ax^2\,dx=2al^3-2a\int_0^l x^2\,dx=2al^3-2a\Biggl[\frac13x^3\Biggr]_0^l=2a\left(l^3-\frac13l^3\right)=\frac43al^3$이고, 따라서 용기에 담긴 물의 부피 $\displaystyle V$는 $\displaystyle V=S\times d=\frac43al^3d$이다. 시간당 일정한 부피의 물을 부었으므로, 물을 붓기 시작한 후 흐른 시간을 $\displaystyle t$라고 하면 물의 부피 $\displaystyle V$와 $\displaystyle t$는 비례하고, 따라서 어떤 양의 상수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle V=\frac43al^3d=kt$, 즉 $\displaystyle l=\sqrt[3]{\frac{3k}{4ad}\cdot t}$이다. 한편 수면의 높이를 $\displaystyle h$라고 하면, $\displaystyle h=al^2$이므로$\displaystyle h=al^2=a\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{3k}{4ad}\cdot t}\right)^2=a\left(\sqrt[3]{\frac{3k}{4ad}}\right)^2\cdot t^{\frac23}$이다. 따라서 수면의 높이 $\displaystyle h$는 흐른 시간 $\displaystyle t$의 $\displaystyle \frac23$승에 비례한다.$\displaystyle y=ax^2$, (1)

【문제 2】 풍선의 반지름을 $\displaystyle r$, 그 중심의 높이를 $\displaystyle h$라고 하면, $\displaystyle xy$평면에서 보이는 풍선의 방정식은 $\displaystyle x^2+(y-h)^2=r^2$이다. 문제에서 주어진 상황이 되려면, $\displaystyle xy$평면에서 두 곡선$\displaystyle y=ax^2$, (1)$\displaystyle x^2+(y-h)^2=r^2$ (2)이 두 점에서 접해야 하고, 이 때 이 두 접점의 $\displaystyle y$좌표는 같아야 한다([그림 2(a)]). 식 (1)로부터 $\displaystyle x^2=\frac ya$를 얻고, 이를 식 (2)에 대입하여 $\displaystyle \frac ya+(y-h)^2=r^2$, 즉$\displaystyle y^2-2\left(h-\frac1{2a}\right)y+(h^2-r^2)=0$ (3)을 얻는다. $\displaystyle y$에 관한 식 (3)이 오직 하나의 해를 가져야 하므로, 그 판별식이 $\displaystyle 0$, 즉$\displaystyle 0=\left(h-\frac1{2a}\right)^2-(h^2-r^2)=h^2-\frac ha+\frac1{4a^2}-h^2+r^2=-\frac ha+\frac1{4a^2}+r^2$ (4)을 얻는다.

한편 풍선과 용기의 접점들의 높이는 식 (4)의 조건하에서 방정식 (3)의 해 $\displaystyle y$의 값과 같다. 식 (4)로부터 $\displaystyle r^2=\frac ha-\frac1{4a^2}$을 얻고, 이를 식 (3)에 대입하면$\displaystyle 0=y^2-2\left(h-\frac1{2a}\right)y+\left\{h^2-\left(\frac ha-\frac1{4a^2}\right)\right\}=\left\{y-\left(h-\frac1{2a}\right)\right\}^2$이 되므로, 접점들의 높이 $\displaystyle y$는 $\displaystyle y=h-\frac1{2a}$이다. 따라서 풍선의 중심의 높이 $\displaystyle h$와 접점들의 높이 $\displaystyle y$는 일정한 차$\displaystyle h-y=\frac1{2a}$ (5)을 가진다.

위와 같은 상황에서 풍선의 아랫부분이 용기의 바닥에 다가간다면, 접점들의 높이 $\displaystyle y$가 $\displaystyle 0$으로 다가가야 한다. 이 때 풍선의 반지름 $\displaystyle r$의 극한은 [그림 2(b)]에서 볼 수 있듯이 $\displaystyle \lim_{y\to0+}r=\lim_{y\to0+}(h-y)=\lim_{y\to0+}h$이고, 식 (5)에 의하여 $\displaystyle \lim_{y\to0+}r=\lim_{y\to0+}h=\frac1{2a}$이다. 실제로 두 곡선 $\displaystyle y=ax^2$과$\displaystyle x^2+\left(y-\frac1{2a}\right)^2=\left(\frac1{2a}\right)^2$ (6)의 교점은 원점뿐임을 다음과 같이 두 식을 연립하여 알 수 있다: $\displaystyle y=ax^2$을 식 (6)에 대입하면$\displaystyle 0=x^2+\left(ax^2-\frac1{2a}\right)^2-\left(\frac1{2a}\right)^2=x^2+a^2x^4-x^2+\left(\frac1{2a}\right)^2-\left(\frac1{2a}\right)^2=a^2x^4$이므로, $\displaystyle x=0$이 유일한 해이고, 또한 $\displaystyle y=a\cdot0^2=0$, 즉 $\displaystyle y=0$이 유일한 해이다. 따라서 풍선의 바람이 모두 빠지지 않고도 그 아랫부분이 용기의 바닥에 닿을 수 있고, 처음 바닥에 닿았을 때의 풍선의 반지름은 $\displaystyle \frac1{2a}$이다.

【문제 3】 풍선의 바람이 모두 빠지지 않고 그 아랫부분이 용기의 바닥에 닿았다고 가정하자. 그러면 [그림 3]에서 볼 수 있듯이, 이 때 풍선의 중심의 높이 $\displaystyle h$와 반지름 $\displaystyle r$은 $\displaystyle h=r>0$을 만족해야 하고, $\displaystyle xy$평면에서 본 풍선의 방정식은$\displaystyle x^2+(y-r)^2=r^2$, (7)용기의 방정식은$\displaystyle y=|x|^{\frac32}$ (8)이다.

풍선의 아랫부분이 용기의 바닥에 닿았다면 두 곡선 (8), (9)의 교점이 원점뿐이어야 한다. 식 (8)을 식 (7)에 대입하면,Correction. “두 곡선 (8), (9)”는 “두 곡선 (7), (8)”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 0=x^2+\left(|x|^{\frac32}-r\right)^2-r^2=x^2+|x|^3-2r|x|^{\frac32}+r^2-r^2=x^2+|x|^3-2r|x|^{\frac32}$,즉$\displaystyle x^2+|x|^3=2r|x|^{\frac32}$ (9)를 얻는다. 식 (9)가 $\displaystyle 0$이 아닌 해 $\displaystyle x$를 가지지 않아야 하므로, 양변을 제곱하여 얻은 $\displaystyle x^4+2|x|^5+x^6=4r^2|x|^3$도 $\displaystyle 0$이 아닌 해 $\displaystyle x$를 가지지 않고, 따라서$\displaystyle 4r^2=|x|+2x^2+|x|^3=|x|(1+|x|)^2$ (10)도 $\displaystyle 0$이 아닌 해 $\displaystyle x$를 가지지 않아야 한다. $\displaystyle f(x)=|x|(1+|x|)^2$으로 놓으면, 함수 $\displaystyle f$는 연속이고 $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty>4r^2>0$이므로, 중간값 정리에 의하여 식 (10)을 만족하는 양수 $\displaystyle x$가 존재한다. 하지만 식 (10)은 $\displaystyle 0$이 아닌 해 $\displaystyle x$를 가지지 못하므로, 이는 모순이다. 따라서 풍선의 아랫부분이 용기의 바닥에 처음 닿는 순간 풍선의 반지름은 $\displaystyle 0$이어야 한다.