자연계열 1번

【문항1】① 조건 (iii)에 의하여 $\displaystyle X_1$의 가로의 길이는 $\displaystyle \frac b3$이고, $\displaystyle X_1$의 세로의 길이는 $\displaystyle a$이다. $\displaystyle X_0$의 가로와 세로의 길이의 비율이 $\displaystyle X_1$의 가로와 세로의 길이의 비율과 같으므로$\displaystyle a:b=\frac b3:a$ -----------------------(1)을 만족해야 한다.

② 그러면 $\displaystyle \frac{b^2}3=a^2$이므로 $\displaystyle \frac{b^2}{a^2}=3$이다. 따라서$\displaystyle b/a=\sqrt3$ ------------------------(2)을 만족해야 한다.

【문항2】① $\displaystyle X_i$의 넓이를 $\displaystyle c_i$라 하자. 그러면,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}c_i=\sum_{i=0}^{\infty}c_i$ -------------------(3)이다.

② 조건 (iii)에 의하여$\displaystyle c_i=\frac{c_{i-1}}3=\frac{c_{i-2}}{3^2}=\ldots=\frac{c_0}{3^i}$ ------------------(4‘)이다. 그러므로 수열 $\displaystyle \{c_i\}$는 공비가 1/3인 등비수열이다. ---------------------(4)

③ 또한 공비 $\displaystyle \frac13$이 $\displaystyle -1<\frac13<1$을 만족하므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{c_0}{3^i}$ 이 수렴한다. -------(5)

④ 무한등비급수의 공식을 이용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{c_0}{3^i}=\frac{c_0}{1-\frac13}=\frac{c_0}{\frac23}=\frac32c_0$ -----------------(6‘)이다. 결론적으로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n$은 $\displaystyle X_0$의 넓이의 3/2배가 된다.-----------------------(6)

【문항3】① $\displaystyle X_i$의 가로의 길이를 $\displaystyle a_i$라 하자. $\displaystyle X_{i+1}$와 $\displaystyle X_i$의 넓이의 비가 $\displaystyle \frac13$이므로 길이의 비는 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$이 된다. 즉,$\displaystyle a_{i+1}=\frac1{\sqrt3}a_i$ -------------------------(7‘)를 만족한다. 따라서,$\displaystyle a_n=\frac1{(\sqrt3)^n}a_0=\frac1{(\sqrt3)^n}$ ---------------------(7) 이다.

② (문항1)의 결과와 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle X_i$의 대각선의 길이는Correction. 문항3의 ②에서 “$\displaystyle X_i$의 대각선”과 “$\displaystyle X_i$가”는 각각 “$\displaystyle X_n$의 대각선”과 “$\displaystyle X_n$가”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \sqrt{(a_n)^2+(\sqrt3a_n)^2}=2a_n$이다. $\displaystyle X_i$가 반지름이 $\displaystyle 10^{-20}$인 원 안에 들어가려면$\displaystyle 2a_n\leq2\cdot10^{-20}$--------------------------(8)을 만족해야 한다.

③ $\displaystyle n$의 범위를 구하기 위해 계산을 하면,$\displaystyle \frac1{(\sqrt3)^n}\leq10^{-20}$ -----------------------(8‘)즉,$\displaystyle (\sqrt3)^n\geq10^{20}$ 이다. 양변에 $\displaystyle \log_{10}$을 취하면$\displaystyle \log_{10}(\sqrt3)^n\geq\log_{10}10^{20}$ --------------------(9)즉, $\displaystyle \frac n2\log_{10}3\geq20$.그러므로$\displaystyle n\geq\frac{40}{\log_{10}3}\fallingdotseq40\cdot2.09=83.6$. ----------------------(10)

④ 결론적으로 $\displaystyle X_n$가 반지름이 $\displaystyle 10^{-20}$미터인 원 안에 들어가는 최소의 정수 $\displaystyle n$은 84이다.