자연계열 3번

【문항1】새 차의 판매 이후의 수명의 확률변수 $\displaystyle X$가 취할 수 있는 값의 범위는 $\displaystyle [0,10]$이고, $\displaystyle \int_0^{10}f(x)\,dx=1$이 되어야하므로 $\displaystyle \int_0^{10}c(1+x)^{-2}\,dx=1$이 되는 상수 $\displaystyle c$를 구한다.$\displaystyle \int_0^{10}c(1+x)^{-2}\,dx=\int_1^{11}cy^{-2}\,dy=\Biggl[-cy^{-1}\Biggr]_1^{11}=c\left(1-\frac1{11}\right)=c\times\frac{10}{11}=1$이므로 $\displaystyle c=\frac{11}{10}$이다. 이 결과를 이용하여 새 차의 판매 이후의 수명이 1년 이상일 확률은 다음과 같다.$\displaystyle P(X\geq1)=\int_1^{10}\frac{11}{10}(1+x)^{-2}\,dx=\Biggl[-\frac{11}{10}y^{-1}\Biggr]_2^{11}=\frac{11}{10}\left(\frac12-\frac1{11}\right)=\frac9{20}$.

※ $\displaystyle P(X\geq1)=P(X>1)$이므로 위 확률계산에서 $\displaystyle P(X\geq1)$을 $\displaystyle P(X>1)$로 계산해도 무방함.

【문항2】새 차로 판매된 지 1년 된 중고차를 구입하였을 때, 구입 이후의 수명이 1년 이상일 확률은 다음과 같이 조건부확률로 계산된다.$\displaystyle P(X\geq2\mid X\geq1)=\frac{P(X\geq2,X\geq1)}{P(X\geq1)}=\frac{P(X\geq2)}{P(X\geq1)}$.여기서 분자의 확률은 $\displaystyle P(X\geq2)=\frac{11}{10}\left(\frac13-\frac1{11}\right)=\frac{11}{10}\times\frac{11-3}{33}=\frac8{30}$이고, 분모의 확률은 (문항 1)의 풀이에 의해 $\displaystyle \frac9{20}$이다. 그러므로 $\displaystyle P(X\geq2\mid X\geq1)=\frac{8/30}{9/20}=\frac{16}{27}$이 된다. 한편, 새 차의 구입 이후의 수명이 1년 이상일 확률은 (문항 1)의 풀이에 의해 $\displaystyle P(X\geq1)=\frac9{20}$이다. 따라서 $\displaystyle P(X\geq2\mid X\geq1)>P(X\geq1)$이므로 이 사람의 차량 구입 조건에 의하면, 새 차로 판매된 지 1년 된 중고차를 구입하는 것이 좋다.

※ $\displaystyle P(X\geq1)=P(X>1)$이므로 위 확률계산에서 $\displaystyle P(X\geq1)$을 $\displaystyle P(X>1)$로 계산해도 무방함.※ $\displaystyle P(X\geq2\mid X\geq1)=P(X\geq2\mid X>1)=P(X>2\mid X\geq1)=P(X>2\mid X>1)$이므로$\displaystyle P(X\geq2\mid X\geq1)$을 $\displaystyle P(X\geq2\mid X>1)$, $\displaystyle P(X>2\mid X\geq1)$혹은 $\displaystyle P(X>2\mid X>1)$로 계산해도 무방함.

【문항3】새 차의 판매 이후의 수명이 9년 이상일 확률 $\displaystyle p$는 위 문항들의 정적분의 방법에 의하면 다음과 같다.$\displaystyle p=P(X\geq9)=\frac{11}{10}\left(\frac1{10}-\frac1{11}\right)=\frac{11}{10}\times\frac{11-10}{110}=\frac1{100}=0.01$.임의추출되어 구입된 10,000대의 새 차들 중, 수명이 9년 이상될 차량의 수에 대한 확률변수 $\displaystyle Y$의 확률질량함수는 이항분포로 $\displaystyle Y\sim B(10000,0.01)$이다. 확률변수 $\displaystyle Y$의 평균과 분산을 각각 구해보면$\displaystyle E(Y)=10000\times0.01=100$, $\displaystyle V(Y)=10000\times0.01\times0.99=99$가 된다. 따라서, 임의추출되어 구입된 10,000대의 새 차들 중, 수명이 9년 이상 될 차량의 수가 $\displaystyle k$대 이상일 확률이 확률 $\displaystyle p=0.01$의 2배 이상이 되려면 다음을 만족한다.$\displaystyle P(Y\geq k)=P\left(\frac{Y-100}{\sqrt{99}}\geq\frac{k-100}{\sqrt{99}}\right)\geq0.02$.그러므로 표준정규분포표를 이용하면 $\displaystyle \frac{k-100}{\sqrt{99}}\fallingdotseq\frac{k-100}{10}\leq2.05$가 된다. 따라서 $\displaystyle k\leq120.5$이므로 자연수인 $\displaystyle k$의 최댓값은 120이다.