자연계열 3번

【문제 3-1】실제 학생의 키와 측정된 학생의 키의 차이가 1인 경우는 $\displaystyle -1\leq X\leq1$일 확률과 같다. 즉, 주어진 표준정규분포표를 이용하면Correction. “차이가 1인 경우”는 “차이가 1 이하인 경우”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}P(-1\leq X\leq1)&=P\left(\frac{-1-1}4\leq\frac{X-1}4\leq\frac{1-1}4\right)\\&=P(-0.5\leq Z\leq0)=P(0\leq Z\leq0.5)=0.19\end{aligned}$이다. 여기서 $\displaystyle Z$는 표준정규분포를 가지는 확률변수이다.

※ 위 풀이 과정의 모든 수식에서 등호를 제외하여도 무방함.

【문제 3-2】실제 학생의 키가 측정된 학생의 키보다 큰 경우는 $\displaystyle 0\leq X\leq1$인 경우이다. 그러므로, 실제 학생의 키와 측정된 학생의 키의 차이가 1일 때, 실제 학생의 키가 측정된 학생의 키보다 클 확률은 다음의 조건부확률Correction. “차이가 1일 때”는 “차이가 1 이하일 때”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle P(0\leq X\leq1\mid-1\leq X\leq1)=\frac{P(0\leq X\leq1,-1\leq X\leq1)}{P(-1\leq X\leq1)}=\frac{P(0\leq X\leq1)}{P(-1\leq X\leq1)}$이 된다. 여기서 분모는 문항 1의 결과에 의해 0.19이고 분자는$\displaystyle \begin{aligned}P(0\leq X\leq1)&=P\left(\frac{0-1}4\leq\frac{X-1}4\leq\frac{1-1}4\right)\\&=P(-0.25\leq Z\leq0)=P(0\leq Z\leq0.25)=0.10\end{aligned}$이다. 그러므로 구하고자 하는 조건부확률은 $\displaystyle \frac{10}{19}$이다.

※ 위 풀이 과정의 모든 수식에서 등호를 제외하여도 무방함.

【문제 3-3】임의추출된 $\displaystyle n$명의 학생들로부터의 표본평균이 $\displaystyle -1\leq\overline X\leq1$일 확률을 구하면 다음과 같다. 먼저, $\displaystyle X\sim N(1,16)$이므로 $\displaystyle \overline X\sim N\left(1,\frac{16}n\right)$이다. 그러므로, 주어진 표준정규분포표를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}P(-1\leq\overline X\leq1)&=P\left(\frac{-1-1}{4/\sqrt n}\leq\frac{\overline X-1}{4/\sqrt n}\leq\frac{1-1}{4/\sqrt n}\right)\\&=P\left(-\frac{\sqrt n}2\leq Z\leq0\right)=P\left(0\leq Z\leq\frac{\sqrt n}2\right)\end{aligned}$ (*)이다. 문항 1의 결과에 의하면 실제 키와 측정된 키의 차이의 확률 $\displaystyle P(-1\leq X\leq1)$은 0.19이므로 위 (*)의 확률은 0.38 이상이어야 하므로 표준정규분포표에 의하면 $\displaystyle \frac{\sqrt n}2\geq1.17$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$들 중 최소를 구하면 된다. 그러므로 $\displaystyle n\geq5.4756$이므로 최소의 학생 수 $\displaystyle n$은 6명이다.

※ 위 풀이 과정의 모든 수식에서 등호를 제외하여도 무방함.