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자연계열 2번

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덕성여대 2018학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2018mo/jayeon_2

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문제

다음 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.

(1) 철수는 고향집에 차를 타고 다음과 같이 내려갔다. 출발시각부터 1시간 동안은 차가 막혀 v(t)=a1et+a2\displaystyle v(t)=a_1e^t+a_2의 속도로 달려 고속도로에 들어섰다. 고속도로에 들어서면서부터 30분 동안 v(t)=b1t+b2\displaystyle v(t)=b_1t+b_2의 속도로 달렸다. 이때 속도는 60km/h\displaystyle 60km/h에서 100km/h\displaystyle 100km/h가 되었다. 그 후 계속해서 그 속도를 유지하면서 2시간 30분을 달렸다. 그리고 고속도로를 벗어나 지방도로에 들어서면서 서서히 속도가 감소하여 v(t)=c1(t−4)2+c2\displaystyle v(t)=c_1(t-4)^2+c_2의 속도로 1시간 후 고향집에 도착하였다. 여기서 t\displaystyle t는 출발 후 시간(hour)을 나타내며, 차는 정차하지 않고 계속하여 달렸다고 가정한다.

(2) 움직이는 점 P\displaystyle P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치를 x=f(t)\displaystyle x=f(t)라고 할 때, 시각 t\displaystyle t에서의 점 P\displaystyle P의 속도 v(t)\displaystyle v(t)는v(t)=dxdt=f′(t)\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=f^{\prime}(t)

(3) 정적분의 성질세 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 구간에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 연속일 때,∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx

【문제 2-1】제시문 (1)의 주어진 상수 a1,a2,b1,b2,c1,c2\displaystyle a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2의 값을 구하시오. (6 점)

【문제 2-2】제시문과 【문제 2-1】를 이용하여 시간 t\displaystyle t에 대한 속도 v(t)\displaystyle v(t)를 나타내고, v(t)\displaystyle v(t)의 그래프를 그리시오. (4 점)

【문제 2-3】출발지로부터 고향집까지의 거리를 구하시오. (5 점)

해설강의 준비중

덕성여대 2018학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2018mo/jayeon_2

+1점 · t=0\displaystyle t=0에서 v(0)=0\displaystyle v(0)=0이고, t=1\displaystyle t=1에서 v(1)=60\displaystyle v(1)=60인 것을 안다.

【문제 2-1】속도 v(t)\displaystyle v(t)는 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 정지 상태에서 1시간 후 60(km/h)\displaystyle 60(km/h)이 되므로, t=0\displaystyle t=0에서 0이고 t=1\displaystyle t=1에서 속도가 60(km/h)\displaystyle 60(km/h)이 된다. 즉v(0)=0,v(1)=60\displaystyle v(0)=0,v(1)=60따라서 우리는 다음과 같은 연립방정식을 얻는다.v(0)=a1e0+a2=a1+a2=0,v(1)=a1e+a2=60\displaystyle v(0)=a_1e^0+a_2=a_1+a_2=0,v(1)=a_1e+a_2=60이를 풀면 다음을 얻는다.a1=60e−1,a2=−60e−1=601−e\displaystyle a_1=\frac{60}{e-1},a_2=-\frac{60}{e-1}=\frac{60}{1-e}

+1점 · t=1\displaystyle t=1에서 v(1)=60\displaystyle v(1)=60이고, t=1.5\displaystyle t=1.5에서 v(1.5)=100\displaystyle v(1.5)=100인 것을 안다.

고속도로로 들어서면서부터 v(t)=b1t+b2\displaystyle v(t)=b_1t+b_2의 속도로 30분(0.5시간) 동안 60km/h\displaystyle 60km/h로부터 100km/h\displaystyle 100km/h가 되었으므로, 구간 [1,1.5]\displaystyle [1,1.5]에서 v(1)=60,v(1.5)=100\displaystyle v(1)=60,v(1.5)=100이 된다. 따라서 다음 연립방정식v(1)=b1+b2=60,v(1.5)=(1.5)b1+b2=100\displaystyle v(1)=b_1+b_2=60,v(1.5)=(1.5)b_1+b_2=100을 풀면 b1=80,b2=−20\displaystyle b_1=80,b_2=-20을 얻는다. 즉 구간 [1,1.5]\displaystyle [1,1.5]에서 속도는v(t)=80t−20\displaystyle v(t)=80t-20이 된다.

+1점 · t=4\displaystyle t=4에서 v(4)=100\displaystyle v(4)=100이고, t=5\displaystyle t=5에서 v(5)=0\displaystyle v(5)=0인 것을 안다.

같은 방법으로 지방도로에서는 구간 [4,5]\displaystyle [4,5]에서 100(km/h)\displaystyle 100(km/h)에서 정지 상태가 되므로, v(t)=c1(t−4)2+c2\displaystyle v(t)=c_1(t-4)^2+c_2로부터 다음 식을 얻는다. v(4)=100,v(5)=0\displaystyle v(4)=100,v(5)=0.

+2점 · a1,a2,b1,b2,c1,c2\displaystyle a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2의 모든 값을 정확히 구할 수 있다.

따라서 우리는 다음과 같은 연립방정식을 얻는다.v(4)=c1(4−4)2+c2=c2=100,v(5)=c1(5−4)2+c2=c1+c2=0\displaystyle v(4)=c_1(4-4)^2+c_2=c_2=100,v(5)=c_1(5-4)^2+c_2=c_1+c_2=0이를 풀면 다음을 얻는다. c1=−100,c2=100\displaystyle c_1=-100,c_2=100. 즉 구간 [4,5]\displaystyle [4,5]에서 속도는 다음과 같다.v(t)=−100(t−4)2+100\displaystyle v(t)=-100(t-4)^2+100

+1점 · t=1.5\displaystyle t=1.5에서 t=4\displaystyle t=4까지 v(t)=100\displaystyle v(t)=100인 것을 안다.
+2점 · 정의역 [0,5]\displaystyle [0,5]를 구간으로 각각 [0,1],[1,1.5],[1.5,4],[4,5]\displaystyle [0,1],[1,1.5],[1.5,4],[4,5]로 나누어 함수를 나타낼 수 있어야 한다.

【문제 2-2】제시문으로부터 함수 v(t)\displaystyle v(t)의 정의역은 구간 [0,5]\displaystyle [0,5]이다. 따라서 함수 v(t)\displaystyle v(t)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.v(t)={(60e−1)et+(601−e)(0≤t≤1)80t−20(1≤t≤1.5)100(1.5≤t≤4)−100(t−4)2+100(4≤t≤5)\displaystyle v(t)=\begin{cases}\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60}{1-e}\right)&(0\leq t\leq1)\\80t-20&(1\leq t\leq1.5)\\100&(1.5\leq t\leq4)\\-100(t-4)^2+100&(4\leq t\leq5)\end{cases}

+2점 · 지수함수와 일차 및 이차함수의 그래프를 연속이 되도록 그릴 수 있다.

따라서 v(t)\displaystyle v(t)의 그래프는 다음과 같다.

시간 t에 대한 속도 v(t)의 구간별 그래프
+2점 · 거리를 구하기 위하여 구간을 나누어 정적분을 구할 수 있다.

【문제 2-3】구하는 거리를 s\displaystyle s라 하자. 제시문 (2)와 (3)으로부터 거리 s\displaystyle s는 속도를 적분하면 된다. 따라서 우리는 다음 적분을 구하면 된다.s=∫01((60e−1)et+(601−e)) dt+∫11.5(80t−20) dt+∫1.54100 dt+∫45(−100(t−4)2+100) dt\displaystyle s=\int_0^1\left(\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60}{1-e}\right)\right)\,dt+\int_1^{1.5}(80t-20)\,dt+\int_{1.5}^4 100\,dt+\int_4^5(-100(t-4)^2+100)\,dt

+1점 · 지수함수의 정적분을 할 수 있다.

처음 적분은 지수함수 적분이므로 간단히 다음과 같이 구할 수 있다.∫01((60e−1)et+(601−e)) dt=[(60e−1)et+(60t1−e)]01=60(e−2)e−1\displaystyle \int_0^1\left(\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60}{1-e}\right)\right)\,dt=\Biggl[\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60t}{1-e}\right)\Biggr]_0^1=\frac{60(e-2)}{e-1}

두 번째 적분은 다음과 같다.∫11.5(80t−20) dt=[40t2−20t]11.5=40\displaystyle \int_1^{1.5}(80t-20)\,dt=\Biggl[40t^2-20t\Biggr]_1^{1.5}=40

세 번째 적분은 간단히 사각형의 넓이인 100×2.5=250\displaystyle 100\times2.5=250, 또는 다음과 같다.∫1.54100 dt=[100t]1.54=250\displaystyle \int_{1.5}^4 100\,dt=\Biggl[100t\Biggr]_{1.5}^4=250

+1점 · 치환적분을 할 수 있다.

마지막 적분은 치환적분을 이용하여 다음과 같이 구한다. (x=t−4\displaystyle x=t-4로 치환하면 dt=dx\displaystyle dt=dx이고 적분 구간은 [4,5]\displaystyle [4,5]에서 [0,1]\displaystyle [0,1]로 바뀌게 된다.)∫45(−100(t−4)2+100) dt=∫01(−100x2+100) dx=[−1003x3+100x]01=2003\displaystyle \int_4^5(-100(t-4)^2+100)\,dt=\int_0^1(-100x^2+100)\,dx=\Biggl[-\frac{100}3x^3+100x\Biggr]_0^1=\frac{200}3

+1점 · 구하는 거리를 정확히 구할 수 있다.

따라서 구하는 거리는 다음과 같다.10703+60(e−2)e−1 (km)\displaystyle \frac{1070}3+\frac{60(e-2)}{e-1}\ (km)

각 문항의 합산 점수를 기준으로 다음과 같은 배점을 적용한다.

문제 2-1) 6점: A, 5-4점: B, 3점: C, 2점: D, 1-0점: E

문제 2-2) 4점: A, 2점: C, 0점: E

문제 2-3) 5점: A, 4점: B, 3-2점: C, 1점: D, 0점: E

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