자연계열 2번

【문제 2-1】속도 $\displaystyle v(t)$는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 정지 상태에서 1시간 후 $\displaystyle 60(km/h)$이 되므로, $\displaystyle t=0$에서 0이고 $\displaystyle t=1$에서 속도가 $\displaystyle 60(km/h)$이 된다. 즉$\displaystyle v(0)=0,v(1)=60$따라서 우리는 다음과 같은 연립방정식을 얻는다.$\displaystyle v(0)=a_1e^0+a_2=a_1+a_2=0,v(1)=a_1e+a_2=60$이를 풀면 다음을 얻는다.$\displaystyle a_1=\frac{60}{e-1},a_2=-\frac{60}{e-1}=\frac{60}{1-e}$

고속도로로 들어서면서부터 $\displaystyle v(t)=b_1t+b_2$의 속도로 30분(0.5시간) 동안 $\displaystyle 60km/h$로부터 $\displaystyle 100km/h$가 되었으므로, 구간 $\displaystyle [1,1.5]$에서 $\displaystyle v(1)=60,v(1.5)=100$이 된다. 따라서 다음 연립방정식$\displaystyle v(1)=b_1+b_2=60,v(1.5)=(1.5)b_1+b_2=100$을 풀면 $\displaystyle b_1=80,b_2=-20$을 얻는다. 즉 구간 $\displaystyle [1,1.5]$에서 속도는$\displaystyle v(t)=80t-20$이 된다.

같은 방법으로 지방도로에서는 구간 $\displaystyle [4,5]$에서 $\displaystyle 100(km/h)$에서 정지 상태가 되므로, $\displaystyle v(t)=c_1(t-4)^2+c_2$로부터 다음 식을 얻는다. $\displaystyle v(4)=100,v(5)=0$. 따라서 우리는 다음과 같은 연립방정식을 얻는다.$\displaystyle v(4)=c_1(4-4)^2+c_2=c_2=100,v(5)=c_1(5-4)^2+c_2=c_1+c_2=0$이를 풀면 다음을 얻는다. $\displaystyle c_1=-100,c_2=100$. 즉 구간 $\displaystyle [4,5]$에서 속도는 다음과 같다.$\displaystyle v(t)=-100(t-4)^2+100$

【문제 2-2】제시문으로부터 함수 $\displaystyle v(t)$의 정의역은 구간 $\displaystyle [0,5]$이다. 따라서 함수 $\displaystyle v(t)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle v(t)=\begin{cases}\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60}{1-e}\right)&(0\leq t\leq1)\\80t-20&(1\leq t\leq1.5)\\100&(1.5\leq t\leq4)\\-100(t-4)^2+100&(4\leq t\leq5)\end{cases}$따라서 $\displaystyle v(t)$의 그래프는 다음과 같다.

【문제 2-3】구하는 거리를 $\displaystyle s$라 하자. 제시문 (2)와 (3)으로부터 거리 $\displaystyle s$는 속도를 적분하면 된다. 따라서 우리는 다음 적분을 구하면 된다.$\displaystyle s=\int_0^1\left(\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60}{1-e}\right)\right)\,dt+\int_1^{1.5}(80t-20)\,dt+\int_{1.5}^4 100\,dt+\int_4^5(-100(t-4)^2+100)\,dt$

처음 적분은 지수함수 적분이므로 간단히 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \int_0^1\left(\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60}{1-e}\right)\right)\,dt=\Biggl[\left(\frac{60}{e-1}\right)e^t+\left(\frac{60t}{1-e}\right)\Biggr]_0^1=\frac{60(e-2)}{e-1}$

마지막 적분은 치환적분을 이용하여 다음과 같이 구한다. ($\displaystyle x=t-4$로 치환하면 $\displaystyle dt=dx$이고 적분 구간은 $\displaystyle [4,5]$에서 $\displaystyle [0,1]$로 바뀌게 된다.)$\displaystyle \int_4^5(-100(t-4)^2+100)\,dt=\int_0^1(-100x^2+100)\,dx=\Biggl[-\frac{100}3x^3+100x\Biggr]_0^1=\frac{200}3$

따라서 구하는 거리는 다음과 같다.$\displaystyle \frac{1070}3+\frac{60(e-2)}{e-1}\ (km)$