자연계열 1번

점 $\displaystyle P$에서 접선의 기울기는$\displaystyle (x^2)^{\prime}=2x|_{x=a}=2a$로부터 $\displaystyle 2a$가 된다. (1-1)

따라서 직선 $\displaystyle l_1$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y-a^2=2a(x-a)\Rightarrow y=2ax-2a^2+a^2=2ax-a^2$ (1-2)

직선 $\displaystyle l_2$의 기울기는 수평선 $\displaystyle y=a^2$에 대한 대칭성을 이용하면 $\displaystyle -2a$가 된다. (1-3)

따라서 직선 $\displaystyle l_2$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y-a^2=-2a(x-a)\Rightarrow y=-2ax+2a^2+a^2=-2ax+3a^2$ (1-4)

$\displaystyle Q$의 $\displaystyle x$좌표는 다음 방정식의 근이 된다.$\displaystyle \begin{aligned}x^2&=-2ax+3a^2\\x^2+2ax-3a^2&=(x-a)(x+3a)=0\end{aligned}$ (1-5)

따라서 $\displaystyle Q$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -3a$가 되고 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 9a^2$가 된다. (1-6)

점 $\displaystyle Q$에서 접선의 기울기는 다음과 같다.$\displaystyle (x^2)^{\prime}=2x\Rightarrow 2x|_{x=-3a}=-6a$ (1-7)

따라서 직선 $\displaystyle l_3$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y-9a^2=-6a(x+3a)\Rightarrow y=-6ax-18a^2+9a^2=-6ax-9a^2$ (1-8)

영역 $\displaystyle A$의 넓이 $\displaystyle S_1$은 다음과 같이 정적분의 값으로 주어진다.$\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\int_{-3a}^a[(-2ax+3a^2)-x^2]dx\\&=\Biggl[-\frac13x^3-ax^2+3a^2x\Biggr]_{-3a}^a\\&=\left(-\frac13a^3-a^3+3a^3\right)-\left(-\frac13(-27a^3)-9a^3-9a^3\right)\\&=-\frac13a^3+2a^3+9a^3=\frac{32}{3}a^3\end{aligned}$ (2-1)

점 $\displaystyle R$의 $\displaystyle x$좌표는 두 직선의 교점이므로 다음 방정식으로부터 $\displaystyle x=-a$임을 알 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}-6ax-9a^2&=2ax-a^2\\8ax-a^2+9a^2&=8ax+8a^2=8a(x+a)=0\end{aligned}$ (2-2)

또한 $\displaystyle R$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=2ax-a^2|_{x=-a}=-3a^2$이 된다. (2-3)

삼각형 $\displaystyle \triangle PQR$의 넓이를 구하기 위하여 다음과 같은 두 영역을 나누어 생각해야 한다. 즉 구간 $\displaystyle [-3a,-a]$에서 두 직선 $\displaystyle y=-2ax+3a^2$과 $\displaystyle y=-6ax-9a^2$ 사이의 영역의 넓이와 구간 $\displaystyle [-a,a]$에서 두 직선 $\displaystyle y=-2ax+3a^2$과 $\displaystyle y=2ax-a^2$ 사이의 영역의 넓이를 더하면 된다. (2-4)

먼저 구간 $\displaystyle [-3a,-a]$에서 두 직선 $\displaystyle y=-2ax+3a^2$과 $\displaystyle y=-6ax-9a^2$ 사이의 영역의 넓이를 다음과 같이 정적분을 이용하여 구하면 $\displaystyle 8a^3$이 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-3a}^{-a}[(-2ax+3a^2)-(-6ax-9a^2)]dx&=\int_{-3a}^{-a}(4ax+12a^2)dx\\&=\Biggl[2ax^2+12a^2x\Biggr]_{-3a}^{-a}=(2a(a^2)+12a^2(-a))-(2a(-3a)^2+12a^2(-3a))\\&=(2a^3-12a^3)-(18a^3-36a^3)\\&=-10a^3+18a^3=8a^3\end{aligned}$ (2-5)

같은 방법으로 구간 $\displaystyle [-a,a]$에서 두 직선 $\displaystyle y=-2ax+3a^2$과 $\displaystyle y=2ax-a^2$ 사이의 영역의 넓이를 다음과 같이 정적분을 이용하여 구하면 $\displaystyle 8a^3$이 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-a}^a[(-2ax+3a^2)-(2ax-a^2)]dx&=\int_{-a}^a(-4ax+4a^2)dx\\&=\Biggl[-2ax^2+4a^2x\Biggr]_{-a}^a=(-2a(a^2)+4a^2(a))-(-2a(-a)^2+4a^2(-a))\\&=(-2a^3+4a^3)-(-2a^3-4a^3)\\&=8a^3\end{aligned}$ (2-6)

그러므로 구하는 영역 $\displaystyle B$의 넓이 $\displaystyle S_2$는 다음과 같다.$\displaystyle S_2=16a^3-\frac{32}{3}a^3=\frac{16}{3}a^3$ (2-7)

따라서 구하는 비는 다음과 같다.$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{32a^3/3}{16a^3/3}=2$ (2-8)Correction. 앞에서 구한 값은 $\displaystyle S_1=\frac{32}{3}a^3$, $\displaystyle S_2=\frac{16}{3}a^3$이므로, 문제에서 요구한 비는 $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac12$이다. 위 식은 분자와 분모를 바꾸어 계산한 오류이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

두 직선 $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_3$의 기울기가 각각 $\displaystyle 2a$와 $\displaystyle -6a$이므로 수직인 조건으로부터 다음과 같은 식이 성립한다.$\displaystyle (2a)(-6a)=-12a^2=-1$ (3-1)

$\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt{12}}$가 된다. (3-2)

$\displaystyle \tan\theta=\frac1{\sqrt3}=\frac3{\sqrt3}$ (3-3)

따라서 구하는 값은 다음과 같다.$\displaystyle \theta=30^{\circ}=\frac\pi6$ (3-4)