수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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덕성여대 2019학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2019mo/jayeon_2

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문제

다음의 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.

어느 농장의 토끼의 개체 수가 다음을 만족한다고 하자.

(a) 첫째 달초에 새로 태어난 토끼 암수 한 쌍만이 있다.(b) 태어난 지 한 달 이상이 되는 토끼는 번식이 가능하다.(c) 번식이 가능한 토끼 암수 한 쌍은 매달 말에 토끼 암수 세 쌍을 낳는다.(d) 죽는 토끼는 없다.

수열 an\displaystyle a_n을 n\displaystyle n째 달초에 농장 안에 있는 토끼 암수 쌍의 개수라 하자.

[문제 2-1] a1,a2,a3,a4,a5\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5를 구하고, 수열 an\displaystyle a_n의 귀납적 정의를 쓰시오. 이를 이용하여 bn=an3n\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}이라 할 때 수열 bn\displaystyle b_n의 귀납적 정의를 쓰시오. [40점]

[문제 2-2] an\displaystyle a_n을 an−3\displaystyle a_{n-3}와 an−4\displaystyle a_{n-4}으로 표현하시오. [20점]

[문제 2-3] [문제 2-2]의 답을 이용하여 모든 자연수 k\displaystyle k에 대하여 a4k\displaystyle a_{4k}가 7의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [40점]

해설강의 준비중

덕성여대 2019학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2019mo/jayeon_2

[문제 2-1]

+10점 · a1,a2,a3,a4,a5\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5를 계산하기(10점): 답을 계산한 경우

① a1,a2,a3,a4,a5\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5의 값 계산a1=1a2=1a3=1+3∗1=4a4=4+3∗1=7a5=7+3∗4=19\displaystyle \begin{aligned}a_1&=1\\a_2&=1\\a_3&=1+3*1=4\\a_4&=4+3*1=7\\a_5&=7+3*4=19\end{aligned}

② an\displaystyle a_n의 귀납적 정의

+9점 · an\displaystyle a_n의 귀납적 정의 (15점): 관계식 (1)을 기재한 경우 (4점), 관계식 (1)을 얻어내는 풀이과정이 서술된 경우(5점)

- 관계식an=(n번째 달초의 토끼 쌍의 수)=(n−1 번째 달초의 토끼 쌍의 수)+3∗(n−2 번째 달초의 토끼 쌍의 수)=an−1+3an−2\displaystyle \begin{aligned}a_n&=(n\text{번째 달초의 토끼 쌍의 수})\\&=(n-1\text{ 번째 달초의 토끼 쌍의 수})+3*(n-2\text{ 번째 달초의 토끼 쌍의 수})\\&=a_{n-1}+3a_{n-2}\end{aligned} (1)

- 첫째항과 둘째항

+3점 · 첫째항 (2)를 기재한 경우

a1=1\displaystyle a_1=1 (2)

+3점 · 둘째항 (3)을 기재한 경우

a2=1\displaystyle a_2=1 (3)

③ bn\displaystyle b_n의 귀납적 정의

+9점 · bn\displaystyle b_n의 귀납적 정의 (15점): 관계식 (4)을 기재한 경우 (4점), 관계식 (4)을 얻어내는 풀이과정이 서술된 경우 (5점)

- 관계식an=an−1+3an−2\displaystyle a_n=a_{n-1}+3a_{n-2}의 양변을 3n\displaystyle 3^n으로 나누면an3n=an−13n+3an−23n=13an−13n−1+13an−23n−2\displaystyle \frac{a_n}{3^n}=\frac{a_{n-1}}{3^n}+\frac{3a_{n-2}}{3^n}=\frac13\frac{a_{n-1}}{3^{n-1}}+\frac13\frac{a_{n-2}}{3^{n-2}}이다.bn=an3n\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}을 이용하면bn=13(bn−1+bn−2)\displaystyle b_n=\frac13(b_{n-1}+b_{n-2})을 얻는다. (4)

- 첫째항과 둘째항

+3점 · 첫째항 (5)를 기재한 경우

b1=a13=13\displaystyle b_1=\frac{a_1}{3}=\frac13 (5)

+3점 · 둘째항 (6)을 기재한 경우

b2=a232=19\displaystyle b_2=\frac{a_2}{3^2}=\frac19 (6)

[문제 2-2]

+20점 · an\displaystyle a_n을 an−3\displaystyle a_{n-3}와 an−4\displaystyle a_{n-4}으로 표현(20점): (7)을 기재한 경우 (10점), (7)을 얻어내는 풀이과정이 서술된 경우 (10점)

an=an−1+3an−2=(an−2+3an−3)+3an−2=4an−2+3an−3=4(an−3+3an−4)+3an−3=7an−3+12an−4.\displaystyle \begin{aligned}a_n&=a_{n-1}+3a_{n-2}=(a_{n-2}+3a_{n-3})+3a_{n-2}=4a_{n-2}+3a_{n-3}\\&=4(a_{n-3}+3a_{n-4})+3a_{n-3}=7a_{n-3}+12a_{n-4}.\end{aligned} (7)

[문제 2-3]

+14점 · 초기조건 (i) 부분: (8)을 기재한 경우 (7점), (9)을 기재한 경우 (7점)
+5점 · 서술 점수: 풀이를 문장으로 조리있게 설명했는가?

(i) k=1\displaystyle k=1일 때 (8)a3=a2+3a1=1+3=4\displaystyle a_3=a_2+3a_1=1+3=4a4=a3+3a2=4+3=7\displaystyle a_4=a_3+3a_2=4+3=7이므로 a4\displaystyle a_4는 7의 배수이다. (9)

+21점 · 귀납과정 (ii) 부분: (10)을 기재한 경우 (7점), (11)을 기재한 경우 (7점), (12)을 기재한 경우 (7점)

(ii) a4k\displaystyle a_{4k}이 7의 배수라고 가정하고 a4(k+1)\displaystyle a_{4(k+1)}를 생각하자. (10)식 (7)을 이용하면a4(k+1)=a4k+4=7a4k+1+12a4k\displaystyle a_{4(k+1)}=a_{4k+4}=7a_{4k+1}+12a_{4k}이다. (11)수학적 귀납법 가정에서 a4k\displaystyle a_{4k}이 7의 배수이므로 a4(k+1)\displaystyle a_{4(k+1)}는 7의 배수이다. (12)

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