자연계열 2번

① $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$의 값 계산$\displaystyle \begin{aligned}a_1&=1\\a_2&=1\\a_3&=1+3*1=4\\a_4&=4+3*1=7\\a_5&=7+3*4=19\end{aligned}$

- 관계식$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=(n\text{번째 달초의 토끼 쌍의 수})\\&=(n-1\text{ 번째 달초의 토끼 쌍의 수})+3*(n-2\text{ 번째 달초의 토끼 쌍의 수})\\&=a_{n-1}+3a_{n-2}\end{aligned}$ (1)

$\displaystyle a_1=1$ (2)

$\displaystyle a_2=1$ (3)

- 관계식$\displaystyle a_n=a_{n-1}+3a_{n-2}$의 양변을 $\displaystyle 3^n$으로 나누면$\displaystyle \frac{a_n}{3^n}=\frac{a_{n-1}}{3^n}+\frac{3a_{n-2}}{3^n}=\frac13\frac{a_{n-1}}{3^{n-1}}+\frac13\frac{a_{n-2}}{3^{n-2}}$이다.$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}$을 이용하면$\displaystyle b_n=\frac13(b_{n-1}+b_{n-2})$을 얻는다. (4)

$\displaystyle b_1=\frac{a_1}{3}=\frac13$ (5)

$\displaystyle b_2=\frac{a_2}{3^2}=\frac19$ (6)

$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=a_{n-1}+3a_{n-2}=(a_{n-2}+3a_{n-3})+3a_{n-2}=4a_{n-2}+3a_{n-3}\\&=4(a_{n-3}+3a_{n-4})+3a_{n-3}=7a_{n-3}+12a_{n-4}.\end{aligned}$ (7)

(i) $\displaystyle k=1$일 때 (8)$\displaystyle a_3=a_2+3a_1=1+3=4$$\displaystyle a_4=a_3+3a_2=4+3=7$이므로 $\displaystyle a_4$는 7의 배수이다. (9)

(ii) $\displaystyle a_{4k}$이 7의 배수라고 가정하고 $\displaystyle a_{4(k+1)}$를 생각하자. (10)식 (7)을 이용하면$\displaystyle a_{4(k+1)}=a_{4k+4}=7a_{4k+1}+12a_{4k}$이다. (11)수학적 귀납법 가정에서 $\displaystyle a_{4k}$이 7의 배수이므로 $\displaystyle a_{4(k+1)}$는 7의 배수이다. (12)