자연계열 1번

덕성여대 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/duksung/2019su/jayeon_1

다음의 제시문을 읽고 아래의 문제에 답하시오.

(1) 영희가 두 대의 드론을 날리고 있다. 첫 번째 드론 $\displaystyle A$ 는 영희로부터 동쪽으로 50m, 북쪽으로 100m, 높이 100m의 위치에 멈추어 있다. 두 번째 드론 $\displaystyle B$ 는 처음에는 영희로부터 북쪽으로 100m, 높이 50m 위치인 $\displaystyle B_0$ 에 있다가 동쪽으로 1m/s, 남쪽으로 1m/s의 속도로 이동하고 있다. 지면에 있는 로봇 $\displaystyle C$ 는 두 드론 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 잇는 직선 위에 자동으로 위치하도록 프로그램 되어 있다.

(2) 동쪽을 $\displaystyle x$ 축 방향, 북쪽을 $\displaystyle y$ 축 방향, 높이를 $\displaystyle z$ 축 방향이라 할 때의 그림은 다음과 같다. (단, 영희의 위치는 원점으로 한다.)

[문제 1-1] $\displaystyle t$ 초 후의 드론 $\displaystyle B$ 의 위치를 구하고, 이 때 드론 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 동시에 지나는 직선의 방향벡터와 방정식을 풀이와 함께 구하시오. [35점]

[문제 1-2] $\displaystyle t$ 초 후의 로봇 $\displaystyle C$ 의 위치를 풀이와 함께 구하시오. [25점]

[문제 1-3] 로봇 $\displaystyle C$ 가 영희로부터 가장 가깝게 위치할 때의 $\displaystyle t$ 의 값을 풀이와 함께 구하시오. [40점]

해설강의 준비중

덕성여대 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/duksung/2019su/jayeon_1

[문제 1-1 예시답안]

+10점 · 드론

\displaystyle B

의 좌표 구하기 (10점): (1)을 기재한 경우(5점) ● 참고: 답이 정확히 맞아야만 점수부여 (이하동일) / (1)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우(5점) ● 참고: 중간에 계산실수가 있더라도 풀이 방법을 이해하면 점수부여 (이하동일)

① 먼저 $\displaystyle t$ 초 후의 드론 $\displaystyle B$ 의 위치는 $\displaystyle (0,100,50)+t(1,-1,0)=(t,100-t,50)$ (1)이다.

+10점 · 직선의 방향벡터 구하기 (10점): (2)를 기재한 경우 (5점), (2)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우(5점)

② 드론 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 지나는 직선의 방정식의 방향벡터는 $\displaystyle (50,100,100)-(t,100-t,50)=(50-t,t,50)$ (2)이다.

+15점 · 직선의 방정식 구하기 (15점): (3)을 기재한 경우 (7점), (3)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우(8점)

③ 그러므로 드론 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x-50}{50-t}=\frac{y-100}{t}=\frac{z-100}{50}$ (3)Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$ 이 아닌지 확인해야 한다: 직선의 비례식 $\displaystyle \frac{x-50}{50-t}=\frac{y-100}{t}=\frac{z-100}{50}$ 은 $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=50$ 에서 분모가 $\displaystyle 0$ 이 되어 쓸 수 없다. 매개변수 $\displaystyle s$ 를 이용해 $\displaystyle (x,y,z)=(50,100,100)+s(50-t,t,50)$ 으로 나타내면 모든 $\displaystyle t\ge0$ 을 다룰 수 있다. 이 식에서도 로봇의 좌표 $\displaystyle (2t-50,100-2t,0)$ 과 최종 답은 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

[문제 1-2 예시답안]

+10점 ·

\displaystyle z=0

일 때의 식 (10점): (4)를 기재한 경우 (5점), (4)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우(5점)

① 로봇 $\displaystyle C$ 는 지면에 있으므로 직선의 방정식 $\displaystyle \frac{x-50}{50-t}=\frac{y-100}{t}=\frac{z-100}{50}$ 에 $\displaystyle z=0$ 을 대입하면 $\displaystyle \frac{x-50}{50-t}=\frac{y-100}{t}=-2$ (4)를 얻을 수 있다.

+15점 · 로봇

\displaystyle C

의 좌표 (15점): (5)를 기재한 경우 (3점), (5)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우(3점), (6)을 기재한 경우 (3점), (6)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우(3점), (7)을 기재한 경우 (3점)

② 이제 $\displaystyle x,y$ 값을 구하자. 먼저 $\displaystyle x-50=-100+2t$ 이므로 $\displaystyle x=2t-50$ (5)이다. 또한 $\displaystyle y-100=-2t$ 이므로 $\displaystyle y=-2t+100$ (6)이다. 그러므로 로봇 $\displaystyle C$ 의 위치는 $\displaystyle (2t-50,-2t+100,0)$ (7)이다.

[문제 1-3 예시답안]

+15점 · 영희와 로봇

\displaystyle C

사이의 거리 (15점): (8)을 기재한 경우 (7점), (8)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우 (8점)

① 영희와 로봇 $\displaystyle C$ 사이의 거리는 원점 $\displaystyle (0,0,0)$ 과 $\displaystyle (2t-50,-2t+100,0)$ 사이의 거리이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\sqrt{(2t-50)^2+(-2t+100)^2}&=\sqrt{4t^2-200t+2500+4t^2-400t+10000}\\&=\sqrt{8t^2-600t+12500}\end{aligned}$ (8)이다.

+25점 · 거리가 최소가 되게 하는

\displaystyle t

의 값 (25점): (9)를 기재한 경우 (5점), (9)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우 (5점), (10)을 기재한 경우 (5점) (

\displaystyle \sqrt{\phantom{x}}

를 제외하여 식을 간략화 할 수 있는 경우에만 점수부여), (11)을 기재한 경우 (5점), (11)를 얻어내는 풀이과정을 서술한 경우 (5점) (

\displaystyle \sqrt{\phantom{x}}

가 있는 식을 미분하여 해결한 경우에도 점수부여)

② 거리가 최소가 되기 위해서는 $\displaystyle \sqrt{\phantom{x}}$ 안의 값이 최소가 되면 되므로 $\displaystyle f(t)=8t^2-600t+12500$ (9)이라 놓자.

● 주의: $\displaystyle f(t)$ 를 정의할 때 $\displaystyle \sqrt{\phantom{x}}$ 를 넣어서 아래 과정에서 복잡한 미분을 하면 (9)에 대한 점수 부여를 하지 않음.

③ 최솟값을 구하기 위해 $\displaystyle f(t)$ 를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=16t-600$ (10)이다.

④ $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$ 이 되는 $\displaystyle t$ 의 값은 $\displaystyle t=\frac{600}{16}=\frac{75}{2}$ (11)이다.

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