자연계열 3번

가) 점 $\displaystyle P(x,y)$의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표로 가능한 값은 $\displaystyle \pm1$과 $\displaystyle \pm3$이다. 점 $\displaystyle P(x,y)$가 점 $\displaystyle P(1,3)$일 사건은주사위의 눈이 4이하이면서 짝수(이동방향은 ↖) 1번, 5이상이면서 짝수(이동방향은 ↗) 2번인 사건이므로이 사건의 확률은$\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac26\right)\left(\frac16\right)^2=\frac6{216}$ (1)이다.

가) 점 $\displaystyle P(x,y)$의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표로 가능한 값은 $\displaystyle \pm1$과 $\displaystyle \pm3$이다. 점 $\displaystyle P(x,y)$가 제 $\displaystyle 1$사분면에서 직선 $\displaystyle x=1$과 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle (1,1)$과 $\displaystyle (1,3)$이다.

$\displaystyle P(1,1)$의 확률: 점 $\displaystyle P(x,y)$가 $\displaystyle P(1,1)$일 사건의 확률은 주사위의 눈이 4이하이면서 짝수(이동방향은 ↖) 1번, 5이상이면서 짝수(이동방향은 ↗) 1번, 5이상이면서 홀수(이동방향은 ↘) 1번인 확률$\displaystyle 3!\left(\frac26\right)\left(\frac16\right)\left(\frac16\right)=\frac{12}{216}$ (2)주사위의 눈이 4이하이면서 홀수(이동방향은 ↙) 1번, 5이상이면서 짝수(이동방향은 ↗) 2번인 확률$\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac26\right)\left(\frac16\right)\left(\frac16\right)=\frac6{216}$ (3)의 합으로,$\displaystyle \frac{12}{216}+\frac6{216}=\frac{18}{216}$ (4)이다.

점 $\displaystyle P(x,y)$가 제 $\displaystyle 1$사분면에서 직선 $\displaystyle x=1$과 만나는 확률은 점 $\displaystyle P(1,3)$과 $\displaystyle P(1,1)$일 경우의 확률의 합으로$\displaystyle \frac6{216}+\frac{18}{216}=\frac{24}{216}=\frac19$ (5)이다.

가) 점 $\displaystyle P(x,y)$의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표로 가능한 값은 $\displaystyle \pm1$과 $\displaystyle \pm3$이다. 이 중 점 $\displaystyle P(x,y)$가 원 $\displaystyle x^2+y^2=2$ 와 $\displaystyle y\ge0$인 범위에서 만나는 사건 $\displaystyle A$에 속하는 점의 좌표는 $\displaystyle (-1,1)$과 $\displaystyle (1,1)$이다.

$\displaystyle P(-1,1)$의 확률: 점 $\displaystyle P(x,y)$가 $\displaystyle P(-1,1)$일 사건은주사위의 눈이 4이하이면서 짝수(이동방향은 ↖) 2번, 5이상이면서 홀수(이동방향은 ↘) 1번인 확률$\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac26\right)^2\left(\frac16\right)=\frac{12}{216}$ (6)주사위의 눈이 4이하 이면서 홀수(이동방향은 ↙) 1번, 4이하 이면서 짝수(이동방향은 ↖), 5이상이면서 짝수(이동방향은 ↗) 1번인 확률$\displaystyle 3!\left(\frac26\right)\left(\frac26\right)\left(\frac16\right)=\frac{24}{216}$ (7)의 합으로$\displaystyle \frac{24}{216}+\frac{12}{216}=\frac{36}{216}$ (8)이다.

사건 $\displaystyle A$의 확률은 점 $\displaystyle P(-1,1)$과 $\displaystyle P(1,1)$일 경우의 확률의 합으로$\displaystyle P(A)=\frac{36}{216}+\frac{18}{216}=\frac{54}{216}=\frac14$ (9)이다.

점 $\displaystyle P(x,y)$가 직선 $\displaystyle x=1$와 제 1사분면에서 만나는 사건 $\displaystyle B$는 점 $\displaystyle P(x,y)$의 좌표가 $\displaystyle P(1,1)$, $\displaystyle P(1,3)$인 경우이다. 이때, 사건 $\displaystyle A$와 사건 $\displaystyle B$가 동시에 발생하는 사건은 점 $\displaystyle P(x,y)$가 점 $\displaystyle P(1,1)$일 사건으로, 사건 $\displaystyle A$와 사건 $\displaystyle B$의 교집합의 확률은 풀이과정 [문제 3-2]의 관계식 (4)로부터$\displaystyle P(A\cap B)=\frac{18}{216}=\frac1{12}$ (10)이다.

사건 $\displaystyle A$가 일어났을 때, 사건 $\displaystyle B$가 일어날 조건부 확률은 관계식 (9)와 (10)로부터$\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{18/216}{54/216}=\frac{1/12}{1/4}=\frac{18}{54}=\frac13$ (11)이다.

사건 $\displaystyle B$의 확률은 [문제 3-2]에서 구한 확률로 관계식(5)에서 $\displaystyle P(B)=\frac19$로 계산 되었고, 사건 $\displaystyle A$가 일어났다는 조건 아래에서 사건 $\displaystyle B$가 일어날 조건부 확률은 관계식(11)에서 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac13$로 계산되었다. 이 때 사건 $\displaystyle A$가 일어났을 때, 사건 $\displaystyle B$가 일어날 조건부 확률이 사건 $\displaystyle B$가 일어날 확률과 일치하지 않으므로$\displaystyle P(B\mid A)=\frac13\ne P(B)=\frac19$ (12)두 사건 $\displaystyle A,B$는 서로 독립이 아니다 (두 사건 $\displaystyle A,B$는 서로 종속이다).