자연계열 2번

위 그림으로부터 $\displaystyle \overline{BD}$의 길이는 피타고라스 정리에 의하여 다음과 같다.$\displaystyle \overline{BD}^2=x^2+6^2$ 또는 $\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{36+x^2}$ $\displaystyle (km)$ (1-1)

따라서 총 설치비용 $\displaystyle T$는 다음과 같다.$\displaystyle T=P(9-x)+Q\sqrt{36+x^2}$ (1-2)

$\displaystyle T$의 도함수는$\displaystyle \frac{d}{dx}x^{\frac12}=\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac12x^{-\frac12}=\frac1{2\sqrt{x}}$과 합성함수 미분법 (2-1)을 이용하면 다음과 같다.$\displaystyle \frac{dT}{dx}=-P+\frac{Qx}{\sqrt{36+x^2}}$ (2-2)

이제 $\displaystyle T$가 극값을 갖기 위하여 방정식 $\displaystyle \frac{dT}{dx}=0$을 $\displaystyle x$에 대하여 풀어 보자.$\displaystyle \frac{dT}{dx}=-P+\frac{Qx}{\sqrt{36+x^2}}=\frac{Qx-P\sqrt{36+x^2}}{\sqrt{36+x^2}}=0$ (2-3)

즉 방정식$\displaystyle Qx-P\sqrt{36+x^2}=0$ (2-4)을 풀면 된다.

$\displaystyle Qx=P\sqrt{36+x^2}$라 놓고 양변을 제곱하면 다음을 얻는다.$\displaystyle Q^2x^2=P^2(36+x^2)$이면 $\displaystyle (Q^2-P^2)x^2=36P^2$ (2-5)

여기서 $\displaystyle x$의 값을 구하면 다음을 얻는다.$\displaystyle x=\frac{6P}{\sqrt{Q^2-P^2}}$ (2-6)

$\displaystyle 0\le x\le9$가 되기 위한 조건을 찾자. 먼저 $\displaystyle x$의 분모가 $\displaystyle 0$이 되지 않아야 하므로 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$의 조건은 다음과 같다.$\displaystyle Q^2-P^2>0$ (2-7)이어야 한다.

$\displaystyle P,Q>0$이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle Q>P$ (2-8)

또한 $\displaystyle 0\le x\le9$가 되기 위하여 다음 부등식이 필요하다.$\displaystyle 0\le\frac{6P}{\sqrt{Q^2-P^2}}\le9$ (2-9)

$\displaystyle Q>P>0$인 조건에서 $\displaystyle \frac{6P}{\sqrt{Q^2-P^2}}>0$이므로 $\displaystyle \frac{6P}{\sqrt{Q^2-P^2}}\le9$을 풀면 된다. 이 부등식 양변을 제곱하여 풀면 다음을 얻는다.$\displaystyle \frac{36P^2}{Q^2-P^2}\le81\Leftrightarrow36P^2\le81(Q^2-P^2)$$\displaystyle \Leftrightarrow117P^2\le81Q^2$이므로 $\displaystyle P^2\le\frac{81}{117}Q^2$ (2-10)

$\displaystyle \Leftrightarrow P\le\frac9{\sqrt{117}}Q$ (2-11)

따라서 구하는 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$ 사이의 관계는 다음과 같다.$\displaystyle (0<)P<Q$ 그리고 $\displaystyle 0<P\le\frac9{\sqrt{117}}Q$ (2-12)

$\displaystyle P=4000, Q=5000$이기 때문에 $\displaystyle Q>P$이므로 [문제 2-2]에 의하여 구간 $\displaystyle [0,9]$에서 극값을 갖는다.Caution. 최댓값·최솟값을 구할 때는 주어진 범위 밖의 값을 제외해야 한다: $\displaystyle Q>P$만으로는 $\displaystyle T′(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x$가 구간 $\displaystyle [0,9]$ 안에 있다고 결론낼 수 없다. $\displaystyle x=\frac{6P}{\sqrt{Q^2-P^2}}\le9$이려면 앞에서 구한 $\displaystyle P\le\frac9{\sqrt{117}}Q$도 필요하다. 주어진 $\displaystyle P=4000,Q=5000$은 이 조건을 만족하고, $\displaystyle x=8$과 최소비용 $\displaystyle 54\,000$원이라는 결론은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \sqrt{Q^2-P^2}=\sqrt{5000^2-4000^2}=\sqrt{9000000}=3000$ (3-1)이므로 식 (2-9)로부터 $\displaystyle T$를 최소로 하는 값은$\displaystyle x=\frac{6\times4000}{3000}=8$ $\displaystyle (km)$ (3-2)이 된다.

몫의 미분법과 합성함수 미분법 (3-3)을 이용하면 $\displaystyle \frac{d^2T}{dx^2}$은 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{d^2T}{dx^2}&=\frac{Q\sqrt{36+x^2}-(Qx)\frac{d}{dx}\sqrt{36+x^2}}{(\sqrt{36+x^2})^2}\quad(3\text{-}4)\\&=\frac{Q\sqrt{36+x^2}-\frac{Qx^2}{\sqrt{36+x^2}}}{36+x^2}\quad(3\text{-}5)\end{aligned}$

$\displaystyle =\frac{Q(36+x^2)-Qx^2}{(36+x^2)^{\frac32}}=\frac{36Q}{(36+x^2)^{\frac32}}$ (3-6)

$\displaystyle 0\le x\le9$이고 $\displaystyle Q>0$이므로$\displaystyle \frac{d^2T}{dx^2}=\frac{36Q}{(36+x^2)^{\frac32}}>0$ (3-7)을 얻는다. 따라서 $\displaystyle 0\le x\le9$에서 $\displaystyle T$의 그래프가아래로 볼록이므로 $\displaystyle T$은 $\displaystyle x=8$에서 최솟값을 갖는다. (3-8)

바다 밑으로 설치하는 가스관의 길이는 $\displaystyle \sqrt{36+x^2}=\sqrt{36+64}=10$이다. 따라서 최소비용은 다음과 같다.$\displaystyle T=4000\times(9-8)+5000\times10=54000$ (원) (3-9)