자연계열 1번

점 $\displaystyle A$는 곡선 $\displaystyle y=e^x$와 직선 $\displaystyle y=e^2$의 교점으로 점 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle (2,e^2)$이 된다.점 $\displaystyle B$는 곡선 $\displaystyle y=\ln x$와 직선 $\displaystyle x=e^2$의 교점으로 점 $\displaystyle B$의 좌표는 $\displaystyle (e^2,2)$가 된다.

점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$를 연결하는 직선은 기울기가 $\displaystyle \frac{2-e^2}{e^2-2}=-1$이고 점 $\displaystyle (2,e^2)$을 지나는 직선이다. 그러므로 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$를 연결하는 직선은 $\displaystyle y-e^2=-1(x-2)$ 즉, $\displaystyle y=-x+e^2+2$를 식으로 갖는 직선이다.

직선 $\displaystyle y=-x+2e^2-2$와 직선 $\displaystyle y=e^2$의 교점은 $\displaystyle (e^2-2,e^2)$이고, 직선 $\displaystyle y=-x+2e^2-2$와 직선 $\displaystyle x=e^2$의 교점은 $\displaystyle (e^2,e^2-2)$이다. 그러므로 영역 $\displaystyle S_4$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 2$인 직각 이등변 삼각형으로 영역 $\displaystyle S_4$의 넓이는 $\displaystyle 2\times2\times\frac12=2$이다.

【문제 1-1】에서 구한 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$의 좌표를 바탕으로 영역 $\displaystyle S_3$과 영역 $\displaystyle S_4$를 합한 영역은 한 변의 길이가 $\displaystyle e^2-2$인 직각 이등변 삼각형이고 영역 $\displaystyle S_3$과 영역 $\displaystyle S_4$를 합한 영역의 넓이는 $\displaystyle (e^2-2)\times(e^2-2)\times\frac12=\frac{(e^2-2)^2}{2}$이다. 그러므로 영역 $\displaystyle S_3$의 넓이는 $\displaystyle \frac{(e^2-2)^2}{2}-2=\frac{e^4-4e^2}{2}$이다.

영역 $\displaystyle S_1$과 영역 $\displaystyle S_5$는 직선 $\displaystyle y=x$를 중심으로 대칭인 영역으로 두 영역의 넓이는 동일하다. 영역 $\displaystyle S_1$의 넓이는 $\displaystyle y$의 값이 1에서 $\displaystyle e^2$까지 변하는 구간을 곡선 $\displaystyle y=e^x$을 $\displaystyle x=\ln y$로 표현한 식의 정적분 값이다. 즉 영역 $\displaystyle S_1$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^{e^2}\ln y\,dy&=\Biggl[y\ln y\Biggr]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}y\times\frac1y\,dy\\&=e^2\times2-1\times0-\Biggl[y\Biggr]_1^{e^2}\\&=2e^2-e^2+1=e^2+1\end{aligned}$이다. 또한 영역 $\displaystyle S_5$의 넓이는 $\displaystyle x$의 값이 1에서 $\displaystyle e^2$까지 변하는 구간을 곡선 $\displaystyle y=\ln x$의 정적분 값으로, 영역 $\displaystyle S_5$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^{e^2}\ln x\,dx&=\Biggl[x\ln x\Biggr]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}x\times\frac1x\,dx\\&=e^2\times2-1\times0-\Biggl[x\Biggr]_1^{e^2}\\&=2e^2-e^2+1=e^2+1\end{aligned}$이다.

영역 $\displaystyle S_2$의 넓이는 영역 $\displaystyle R$의 넓이에서 영역 $\displaystyle S_1$, $\displaystyle S_3$, $\displaystyle S_4$, $\displaystyle S_5$의 넓이의 합을 뺀 값이다. 영역 $\displaystyle R$은 한 변의 길이가 $\displaystyle e^2$인 정사각형으로 넓이는 $\displaystyle e^4$이므로, 영역 $\displaystyle S_2$의 넓이는$\displaystyle e^4-\left[(e^2+1)+\frac{e^4-4e^2}{2}+2+(e^2+1)\right]=e^4-\frac{e^4+8}{2}=\frac12e^4-4$가 된다.

점수를 값으로 갖는 확률변수 $\displaystyle X$는 1, 2, 3 또는 5의 값을 갖고, $\displaystyle X=1$의 확률은 영역 $\displaystyle R$의 넓이에서 영역 $\displaystyle S_2$ 넓이의 비율이므로Comment. 대학 예시답안은 각 영역의 넓이를 $\displaystyle R$의 넓이로 나누어 확률을 구한다. 이는 핀이 $\displaystyle R$ 안에 균등하게 꽂힌다는 모형에서의 계산이다. 제시문은 $\displaystyle R$ 밖이나 경계선에 꽂히면 0점을 받는다고 정하지만 핀의 위치 분포는 명시하지 않으므로, 그 조건만으로는 확률분포와 평균이 정해지지 않는다. 예시답안은 $\displaystyle R$ 안에서 균등하게 선택한다는 모형을 보충한 풀이로 읽으면 된다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle P(X=1)=\frac{\frac{e^4-8}{2}}{e^4}=\frac{e^4-8}{2e^4}$이 된다. $\displaystyle X=2$의 확률은 영역 $\displaystyle R$의 넓이에서 영역 $\displaystyle S_3$ 넓이의 비율이므로$\displaystyle P(X=2)=\frac{\frac{e^4-4e^2}{2}}{e^4}=\frac{e^4-4e^2}{2e^4}$이 된다. $\displaystyle X=3$의 확률은 영역 $\displaystyle R$의 넓이에서 영역 $\displaystyle S_1$ 넓이와 영역 $\displaystyle S_5$ 넓이의 합의 비율이므로$\displaystyle P(X=3)=2\times\frac{e^2+1}{e^4}=\frac{2e^2+2}{e^4}$이다. $\displaystyle X=5$의 확률은 영역 $\displaystyle R$의 넓이에서 영역 $\displaystyle S_4$ 넓이의 비율이므로$\displaystyle P(X=5)=\frac2{e^4}$이다.

【문제 1-2】에서 구한 확률분포표로부터 확률 변수 $\displaystyle X$의 평균은$\displaystyle \begin{aligned}E[X]&=\sum_{x=1}^5xP(X=x)\\&=1\times\frac{e^4-8}{2e^4}+2\times\frac{e^4-4e^2}{2e^4}+3\times\frac{2e^2+2}{e^4}+5\times\frac2{e^4}\\&=\frac{(e^4-8)+2\times(e^4-4e^2)+6\times(2e^2+2)+10\times2}{2e^4}\\&=\frac{3e^4+4e^2+24}{2e^4}\end{aligned}$