자연계열 2번

두 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 잇는 직선의 기울기는 두 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle F$를 잇는 직선의 기울기와 같으므로 다음을 얻는다.$\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-y_1}{p-x_1}\quad\cdots\quad(1)$Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: 이 문제에서는 $\displaystyle p>0$, $\displaystyle y_1\ne0$이어도 $\displaystyle x_1=p$일 수 있다. 이때 두 점 $\displaystyle A,B$의 좌표는 순서에 관계없이 $\displaystyle (p,2p)$, $\displaystyle (p,-2p)$이고 직선 $\displaystyle AB$는 $\displaystyle y$축에 평행하므로, 대학 풀이의 기울기 식을 사용할 수 없다. 두 점의 좌표를 직접 대입하면 (가)와 (나)가 모두 성립하여 뒤의 결론은 바뀌지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이를 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle (x_2-x_1)(-y_1)=(p-x_1)(y_2-y_1)\quad\cdots\quad(2)$$\displaystyle -x_2y_1+x_1y_1=py_2-x_1y_2-py_1+x_1y_1\quad\cdots\quad(3)$

$\displaystyle x_1y_2-x_2y_1=p(y_2-y_1)\quad\cdots\quad\text{(가)}$

(가) 식에 $\displaystyle 4p$를 곱하면 다음을 얻는다.$\displaystyle 4px_1y_2-4px_2y_1=4p^2(y_2-y_1)\quad\cdots\quad(4)$

점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$가 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위의 점이므로 다음 식을 만족한다.$\displaystyle y_1^2=4px_1,\ y_2^2=4px_2\quad\cdots\quad(5)$

(5) 식을 (4) 식에 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle y_1^2y_2-y_2^2y_1=4p^2(y_2-y_1)\quad\cdots\quad(6)$$\displaystyle y_1y_2(y_1-y_2)=4p^2(y_2-y_1)\quad\cdots\quad(7)$

$\displaystyle -y_1y_2=4p^2\quad\cdots\quad\text{(나)}$

포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위의 점 $\displaystyle A(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y^2=4px$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=4p$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y}\quad(\text{단},y\ne0)\quad\cdots\quad(8)$이므로 (8) 식에 $\displaystyle y=y_1$을 대입하면 접선의 기울기는 다음과 같다.$\displaystyle \frac{2p}{y_1}\quad\cdots\quad(9)$

따라서 구하는 접선의 방정식은$\displaystyle y-y_1=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)\quad\cdots\quad(10)$이고, 이를 간단히 하면 다음과 같다.$\displaystyle y_1y-y_1^2=2p(x-x_1)\quad\cdots\quad(11)$

점 $\displaystyle A(x_1,y_1)$은 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위의 점이므로 다음 식을 만족한다.$\displaystyle y_1^2=4px_1\quad\cdots\quad(12)$이를 (11) 식에 대입하고 정리하면 다음을 얻는다.$\displaystyle y_1y=2p(x+x_1)\quad\cdots\quad(13)$

같은 방법으로 점 $\displaystyle B(x_2,y_2)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y_2y=2p(x+x_2)\quad\cdots\quad(14)$

점 $\displaystyle M$은 점 $\displaystyle A$에서의 접선과 준선이 만나는 점이므로 (13) 식에 $\displaystyle x=-p,y=y_3$를 대입하고 정리하면$\displaystyle y_3y_1=2p(-p+x_1)\quad\cdots\quad(15)$을 얻는다.

또한 $\displaystyle M^{\prime}$은 $\displaystyle B$에서의 접선과 준선이 만나는 점이므로 (14) 식에 $\displaystyle x=-p,y=y_4$를 대입하고 정리하면$\displaystyle y_4y_2=2p(-p+x_2)\quad\cdots\quad(16)$를 얻는다.

(15) 식과 (16) 식을 정리하면$\displaystyle y_3=\frac{2p(-p+x_1)}{y_1},\quad y_4=\frac{2p(-p+x_2)}{y_2}\quad\cdots\quad(17)$

(가) 식을 다시 정리하면 (18)과 (19) 식을 얻는다.$\displaystyle -py_2+x_1y_2=-py_1+x_2y_1\quad\cdots\quad(18)$$\displaystyle \frac{-p+x_1}{y_1}=\frac{-p+x_2}{y_2}\quad\cdots\quad(19)$

(19) 식의 양변에 $\displaystyle 2p$를 곱하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \frac{2p(-p+x_1)}{y_1}=\frac{2p(-p+x_2)}{y_2}\quad\cdots\quad(20)$따라서 $\displaystyle y_3=y_4$가 된다.

두 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle \frac{2p}{y_1}$, $\displaystyle \frac{2p}{y_2}$이므로 두 기울기의 곱은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{2p}{y_1}\times\frac{2p}{y_2}=\frac{4p^2}{y_1y_2}\quad\cdots\quad(21)$

(나) 식에 의하여$\displaystyle \frac{4p^2}{y_1y_2}=-1\quad\cdots\quad(22)$이 되므로 두 접선은 서로 수직이 된다.