자연계열 1번

〈답안〉 두 함수의 기울기로부터 직선과 $\displaystyle x$축 사이의 각은 $\displaystyle 60^{\circ}$가 된다. 따라서 삼각형 $\displaystyle OA_1B_1$과 $\displaystyle OA_1C_1$은 다음과 같은 특수각을 갖는 직각삼각형이다. …… (1)

따라서 선분 $\displaystyle OA_1$의 길이는 $\displaystyle 2$이다 …… (2)

또한 선분 $\displaystyle OA_2$의 길이는(선분 $\displaystyle OA_1$의 길이)$\displaystyle -(r_1+r_2)$가 된다. 즉$\displaystyle 2-(r_1+r_2)=2-(1+r_2)=1-r_2$ …… (3)$\displaystyle OA_1$와 $\displaystyle OA_2$를 빗변으로 갖는 두 직각삼각형이 닮음이므로 다음과 같은 관계식을 갖는다.$\displaystyle 1:2=r_2:r_1-r_2=r_2:1-r_2$ …… (4)

따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle 2r_2=1-r_2$ …… (5)즉$\displaystyle 3r_2=1\Rightarrow r_2=\frac13$ …… (6)

선분 $\displaystyle OA_3$의 길이는 (선분 $\displaystyle OA_3$의 길이$\displaystyle =2r_3$)2-(선분 $\displaystyle A_1A_3$의 길이) 또는(선분 $\displaystyle OA_2$의 길이)$\displaystyle -(r_2+r_3)$가 된다.즉$\displaystyle 2-(r_1+2r_2+r_3)=1-2r_2-r_3=1/3-r_3$ 또는$\displaystyle (1-r_2)-(r_2+r_3)=1-2r_2-r_3=1-2/3-r_3=1/3-r_3$ 또는 …… (7)$\displaystyle 2r_2-(r_2+r_3)=r_2-r_3=1/3-r_3$

이고, $\displaystyle OA_1$와 $\displaystyle OA_3$를 빗변으로 갖는 두 직각삼각형이 닮음이므로 다음과 같은 관계식을 갖는다.$\displaystyle 1:2=r_3:1/3-r_3$ 또는$\displaystyle r_2:(1-r_2)=r_3:(1/3-r_3)$ 또는 …… (8)$\displaystyle r_2-r_3=2r_3\Rightarrow3r_3=r_2\Rightarrow r_3=(1/3)r_2=(1/3)^2$따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle 2r_3=1/3-r_3$ …… (9)즉$\displaystyle 3r_3=1/3\Rightarrow r_3=\left(\frac13\right)^2$ …… (10)

귀납적으로 다음을 얻는다.$\displaystyle r_n=\left(\frac13\right)^{n-1}$ …… (11)

【문제 1-2】〈답안〉 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 원 $\displaystyle C_n$의 넓이 $\displaystyle S_n$은 다음과 같다.$\displaystyle S_n=\pi r_n^2=\pi\left(\left(\frac13\right)^{n-1}\right)^2=\pi\left(\frac13\right)^{2n-2}$ …… (12)

가 된다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^nS_k$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^nS_k&=\pi\left(\frac13\right)^0+\pi\left(\frac13\right)^2+\pi\left(\frac13\right)^4+\cdots+\pi\left(\frac13\right)^{2n-2}\\&=\pi\left[1+\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^4+\cdots+\left(\frac13\right)^{2(n-1)}\right]\\&=\pi\frac{1-(\frac13)^{2n}}{1-(\frac13)^2}=\pi\left(\frac98\right)\left[1-\left(\frac13\right)^{2n}\right]\end{aligned}$ …… (13)

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nS_k=\lim_{n\to\infty}\pi\left(\frac98\right)\left[1-\left(\frac13\right)^{2n}\right]=\frac{9\pi}{8}$ …… (14)

【문제 1-3】〈답안〉 빗금친 부분 $\displaystyle D_1$은 선분 $\displaystyle \overline{A_1A_2}$를 포함하는 사다리꼴의 넓이에서 두 부채꼴의 넓이를 빼면 된다. 이 사다리꼴의 위변과 밑변의 길이는 각각 $\displaystyle r_1$, $\displaystyle r_2$이고, 또한 비례식에 의하여 사다리꼴의 높이는 다음과 같다.$\displaystyle \sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}=\frac{2\sqrt3}{3}$ …… (15)따라서 처음 사다리꼴의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac12\times(r_1+r_2)\times$높이 $\displaystyle =\frac12\left(1+\frac13\right)\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt3}{3^2}$ …… (16)

다음으로 두 부채꼴의 넓이를 구하자. 위 부채꼴은 반지름이 $\displaystyle r_1=1$이고 사이 각이 $\displaystyle 60^{\circ}$이므로 넓이는$\displaystyle \frac16\pi\times(1)^2=\frac\pi6$ …… (17)이고, 아래 부채꼴은 반지름이 $\displaystyle r_2=\frac13$이고 사이 각이 $\displaystyle 120^{\circ}$이므로 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac13\pi\times\left(\frac13\right)^2=\frac\pi{3^3}$ …… (18)

따라서 빗금친 부분 $\displaystyle D_1$의 넓이는$\displaystyle \frac{4\sqrt3}{3^2}-\left(\frac16(1)^2+\frac13\frac1{3^2}\right)\pi=\frac{4\sqrt3}9-\frac{11}{54}\pi$ …… (19)

비슷한 방법으로 빗금친 부분 $\displaystyle D_2$은 선분 $\displaystyle \overline{A_2A_3}$를 포함하는 사다리꼴의 넓이에서 두 부채꼴의 넓이를 빼면 된다. 이 사다리꼴의 위변과 밑변의 길이는 각각 $\displaystyle r_2$, $\displaystyle r_3$이고, 또한 비례식에 의하여 사다리꼴의 높이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac{\sqrt3}3-\frac{\sqrt3}{3^2}=\frac{2\sqrt3}{3^2}$ …… (20)따라서 처음 사다리꼴의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac12\times(r_2+r_3)\times$높이 $\displaystyle =\frac12\left(\frac13+\frac1{3^2}\right)\frac{2\sqrt3}{3^2}=\frac{4\sqrt3}{3^4}$ …… (21)다음으로 주어진 두 부채꼴의 넓이를 구하자. 위 부채꼴은 반지름이 $\displaystyle r_2=\frac13$이고 사이 각이 $\displaystyle 60^{\circ}$이므로 넓이는$\displaystyle \frac16\pi\times\left(\frac13\right)^2=\left(\frac16\right)\frac\pi{3^2}$ …… (22)이고, 아래 부채꼴은 반지름이 $\displaystyle r_3=\frac1{3^2}$이고 사이 각이 $\displaystyle 120^{\circ}$이므로 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac13\pi\times\left(\frac1{3^2}\right)^2=\frac\pi{3^5}$ …… (23)따라서 빗금친 부분 $\displaystyle D_1$의 넓이는 다음과 같다.Correction. 이곳의 $\displaystyle D_1$은 $\displaystyle D_2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{4\sqrt3}{3^4}-\left(\frac16\frac1{3^2}+\frac13\frac1{3^4}\right)\pi=\frac1{3^2}\left(\frac{4\sqrt3}{3^2}-\left(\frac16+\frac1{3^3}\right)\pi\right)=\frac1{3^2}\left(\frac{4\sqrt3}9-\frac{11}{54}\pi\right)$ …… (24)

이와 같은 방법으로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 빗금친 부분 $\displaystyle D_n$은 선분 $\displaystyle \overline{A_nA_{n+1}}$를 포함하는 사다리꼴의 넓이에서 두 부채꼴의 넓이를 빼면 된다. 이 사다리꼴의 위변과 밑변의 길이는 각각 $\displaystyle r_n$, $\displaystyle r_{n+1}$이고, 또한 비례식에 의하여 사다리꼴의 높이는 다음과 같다.$\displaystyle \cdots\ \frac{\sqrt3}{3^{n-1}}-\frac{\sqrt3}{3^n}=\frac{2\sqrt3}{3^n}$ …… (25)따라서 처음 사다리꼴의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac12\times(r_n+r_{n+1})\times$높이 $\displaystyle =\frac12\left(\frac1{3^{n-1}}+\frac1{3^n}\right)\frac{2\sqrt3}{3^n}=\frac{4\sqrt3}{3^{2n}}$ …… (26)다음으로 주어진 두 부채꼴의 넓이를 구하자. 위 부채꼴은 반지름이 $\displaystyle r_n=\frac1{3^{n-1}}$이고 사잇각이 $\displaystyle 60^{\circ}$이므로 넓이는$\displaystyle \frac16\pi\times\left(\frac1{3^{n-1}}\right)^2=\frac\pi6\frac1{3^{2n-2}}$ …… (27)이고, 아래 부채꼴은 반지름이 $\displaystyle r_n=\frac1{3^n}$이고 사잇각이 $\displaystyle 120^{\circ}$이므로 넓이는 다음과 같다.Correction. 이곳의 $\displaystyle r_n$은 $\displaystyle r_{n+1}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac13\pi\times\left(\frac1{3^n}\right)^2=\frac\pi{3^{2n+1}}$ …… (28)따라서 빗금친 부분 $\displaystyle D_n$의 넓이는$\displaystyle \frac{4\sqrt3}{3^{2n}}-\left(\frac16\frac1{3^{2n-2}}+\frac13\left(\frac1{3^{2n}}\right)\right)\pi=\frac1{3^{2(n-1)}}\left(\frac{4\sqrt3}{3^2}-\left(\frac16+\frac1{3^3}\right)\pi\right)=\frac1{3^{2n-2}}\left(\frac{4\sqrt3}9-\frac{11}{54}\pi\right)$ …… (29)

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}D_n$은 무한급수의 성질과 무한등비급수의 합의 공식$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^{2n-2}}=\frac19\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1{3^2}\right)^n=\frac19\frac{1/3^2}{1-1/3^2}=\frac98$ …… (30)Correction. 식 (30)의 두 $\displaystyle \frac19$은 모두 $\displaystyle 9$의 오기이다. 마지막 합 $\displaystyle \frac98$은 올바르게 적혀 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

을 이용하면 구하는 값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}D_n&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^{2n-2}}\left(\frac{4\sqrt3}9-\frac{11}{54}\pi\right)\\&=\left(\frac{4\sqrt3}9-\frac{11}{54}\pi\right)\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^{2n-2}}\\&=\left(\frac{4\sqrt3}9-\frac{11}{54}\pi\right)\frac98=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{11}{48}\pi\end{aligned}$ …… (31)