자연계열 2번

[문제 2-1]〈답안〉 먼저 점 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$의 좌표를 구하자. 점 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$에서 극값을 가지므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=-6x^2+6=0\Rightarrow-6(x^2-1)=-6(x-1)(x+1)=0$ …… (1)를 풀면$\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=-1$ …… (2)

를 얻는다. 따라서 $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 1$, $\displaystyle C$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -1$이다. $\displaystyle f(1)=8$이고 $\displaystyle f(-1)=0$이므로 점 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$의 좌표는 각각 다음과 같다.$\displaystyle B(1,8)$, $\displaystyle C(-1,0)$ …… (3)

이제 점 $\displaystyle A$의 좌표를 구하자.$\displaystyle A$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle B$의 $\displaystyle y$좌표와 값이 같으므로 $\displaystyle 8$이 된다. …… (4)이제 $\displaystyle A$의 $\displaystyle x$좌표를 구하자. $\displaystyle A$는 $\displaystyle f(x)$의 그래프 위의 점이므로 다음 식을 만족한다.$\displaystyle -2x^3+6x+4=8\Rightarrow-2x^3+6x-4=0$ …… (5)

($\displaystyle x=1$에서의 함숫값이 $\displaystyle 8$이므로) $\displaystyle x=1$는 이 식의 해(실제로 중근)가 된다. …… (6)따라서 인수정리에 의하여 $\displaystyle -2x^3+6x-4$은 $\displaystyle x-1$로 나누어 진다. 즉$\displaystyle -2x^3+6x-4=(x-1)(-2x^2-2x+4)=-2(x-1)^2(x+2)$ …… (7)

따라서 식 (6)의 해는Correction. 이곳의 “식 (6)”은 방정식이 제시된 “식 (5)”를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x=1$(중근), $\displaystyle x=-2$$\displaystyle f(-2)=8$이므로 $\displaystyle A$의 좌표는 다음과 같다.$\displaystyle A(-2,8)$ …… (8)

[문제 2-2]〈답안〉저수지에 물이 가득 찼을 때 물의 양은 빗금 친 부분의 단면적$\displaystyle (m^2)\times10(m)$로 나타난다. 빗금 친 부분의 넓이는 문제 2-1에서 주어진 것을 이용하면 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-2}^1[8-(-2x^3+6x+4)]dx&=\int_{-2}^1(2x^3-6x+4)dx\\&=\Biggl[\frac12x^4-3x^2+4x\Biggr]_{-2}^1\\&=\left(\frac12-3+4\right)-(8-12-8)\\&=\frac{27}{2}\end{aligned}$ …… (9)

따라서 저수지에 담는 총 물의 양은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{27}{2}\times10=135(m^3)$ …… (10)

[문제 2-3]〈답안〉$\displaystyle f(x)$의 변곡점을 구하기 위해 다음 식을 풀자.$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-12x=0\Rightarrow x=0$ …… (11)따라서 변곡점은$\displaystyle (0,f(0))=(0,4)$ …… (12)

$\displaystyle f(x)$의 변곡점이 되는 지점까지 저수지에 물이 채워진 상태에서의 물의 깊이는 $\displaystyle 4(m)$가 된다. 이 경우 저수지에 담긴 물의 부피를 구하자.먼저 $\displaystyle f(x)=4$가 되는 $\displaystyle x(-2\le x\le1)$를 구하자. 즉 다음 식을 만족하는 $\displaystyle x$를 구하면$\displaystyle -2x^3+6x+4=4\Rightarrow-2x^3+6x=-2x(x^2-3)=0$즉$\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=\sqrt3$, $\displaystyle x=-\sqrt3$ …… (13)

따라서 구하는 값은 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=-\sqrt3$이다.그러므로 저수지의 깊이가 $\displaystyle 4(m)$까지 찼을 때 단면의 넓이는 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\sqrt3}^0[4-(-2x^3+6x+4)]dx&=\int_{-\sqrt3}^0(2x^3-6x)dx\\&=\Biggl[\frac12x^4-3x^2\Biggr]_{-\sqrt3}^0\\&=\left(-\frac{3^2}{2}+9\right)=\frac92\end{aligned}$ …… (14)

따라서 $\displaystyle f(x)$의 변곡점이 되는 지점까지 저수지에 물이 채워진 상태일 때 물의 부피는 다음과 같다.$\displaystyle \frac92\times10=45(m^3)$ …… (15)

따라서 물이 저수지에 가득 차기 위한 물의 양은 다음과 같다. (문제 2-2로부터)$\displaystyle 135-45=90(m^3)$ …… (16)

따라서 저수지에 물이 가득할 때까지 걸리는 시간은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{90}5=18$ (시간) …… (17)