자연계열 1번

<그림>에서와 같이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이가 최대가 되기 위해서는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 밑변 $\displaystyle \mathrm{AB}$에서 높이가 최대가 되어야 한다. 따라서곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle C$에서의 접선이 두 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 잇는 직선의 기울기와 같아야 한다. (1)

두 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 잇는 직선의 기울기는 다음과 같다.$\displaystyle \frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b-a)(b+a)}{b-a}=b+a\qquad(2)$

또한 $\displaystyle y^{\prime}=2x$이므로 점 $\displaystyle C(c,c^2)$에서 접선의 기울기는$\displaystyle \left.y^{\prime}\right|_{x=c}=2c\qquad(3)$

가 된다. 따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle b+a=2c\quad\Rightarrow\quad c=\frac{a+b}{2}\qquad(4)$

[문제 1-2]삼각형의 넓이를 구하기 위하여 삼각형의 밑변을 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 하는 직삼각형의 높이를 구하면 된다. 주어진 삼각형의 높이는 직선과 직선 밖의 점 사이의 거리를 이용하여 구할 수 있다. (5)

먼저 삼각형의 밑변의 길이는 다음과 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(b-a)^2+(b^2-a^2)^2}=(b-a)\sqrt{1+(a+b)^2}\qquad(6)$

직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 방정식은 (10)에 의하여 $\displaystyle y=(a+b)x-ab$이다.직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 점 $\displaystyle \mathrm{C}(c,c^2)=\mathrm{C}\left(\frac{a+b}{2},\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\right)$ 사이의 거리는, 다음 공식에 의하여,좌표평면 위의 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$과 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 사이의 거리 $\displaystyle d$는$\displaystyle d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad(7)$

다음과 같이 구할 수 있다. (직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 식은 $\displaystyle (a+b)x-y-ab=0$ 이다.)$\displaystyle \begin{aligned}&\frac{\left|(a+b)\frac{(a+b)}2+(-1)\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab\right|}{\sqrt{(a+b)^2+(-1)^2}}\\&=\frac{\left|\frac{(a+b)^2}{4}-ab\right|}{\sqrt{(a+b)^2+1}}\\&=\frac{\left|\frac{(a-b)^2}{4}\right|}{\sqrt{(a+b)^2+1}}=\frac{(a-b)^2}{4\sqrt{(a+b)^2+1}}\end{aligned}\qquad(8)$따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac12(b-a)\sqrt{1+(a+b)^2}\times\frac{(a-b)^2}{4\sqrt{(a+b)^2+1}}=\frac{(b-a)^3}{8}\qquad(9)$

[문제 1-3]먼저 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 곡선 $\displaystyle y=x^2$이 만나는 점을 구하기 위하여 두 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 잇는 직선의 식은 점 $\displaystyle A(a,a^2)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle a+b$인 직선의 식과 같으므로 다음과 같이 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}y-a^2&=(a+b)(x-a)\\y&=(a+b)x-a(a+b)+a^2\\y&=(a+b)x-ab\end{aligned}\qquad(10)$

또한 삼각형의 넓이 $\displaystyle S_2$는 (9)에서 보였듯이 $\displaystyle S_2=\frac18(b-a)^3$이다.(또는 (37)에 의하여 $\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle S_2$는 다음과 같다.)$\displaystyle \begin{aligned}&\frac12(c-a)(b-c)(b-a)\\&=\frac12\left(\frac{b+a}{2}-a\right)\left(b-\frac{b+a}{2}\right)(b-a)\\&=\frac18(b-a)(b-a)(b-a)=\frac18(b-a)^3\end{aligned}\qquad(13)$따라서 구하는 값은$\displaystyle \frac16(b-a)^3=\frac43\left(\frac18(b-a)^3\right)\qquad(14)$이므로 다음과 같다.$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac43\qquad(15)$따라서 $\displaystyle a,b$와 관계없이 일정하다.