자연계열 2번

【문제 2-1】(3)에서 추출된 $\displaystyle l$, $\displaystyle m$은 모두 자연수이므로 추출된 순서쌍 $\displaystyle (l,m)$으로 만든 등비수열 $\displaystyle a_n=k\left(\frac ml\right)^{n-1}$ $\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)$의 공비 $\displaystyle \frac ml$은 0보다 크다. 즉,$\displaystyle \frac ml>0\qquad(1)$이다. 여기서 $\displaystyle k>0$인 상수이다. (4)의 설명에서 $\displaystyle \{a_n\}$의 등비급수 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}a_i$이 수렴하기 위한 공비의 조건은$\displaystyle -1<\frac ml<1\qquad(2)$이다. 그러므로 부등식 (1)과 (2)에 의해서 등비급수 $\displaystyle \{a_n\}$이 수렴하기 위한 공비의 조건은$\displaystyle 0<\frac ml<1\qquad(3)$이다. 부등식 (3)의 조건 하에서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\geq\sum_{i=n+1}^{\infty}a_i$는$\displaystyle k\left(\frac ml\right)^{n-1}\geq\sum_{i=n+1}^{\infty}k\left(\frac ml\right)^{i-1}\qquad(4)$이다. 부등식 (4)의 오른쪽 항은 초항이 $\displaystyle k\left(\frac ml\right)^n$이고 공비가 $\displaystyle \frac ml$인 등비급수이므로$\displaystyle \sum_{i=n+1}^{\infty}k\left(\frac ml\right)^{i-1}=\frac{k\left(\frac ml\right)^n}{1-\frac ml}\qquad(5)$이다. 따라서 식 (5)의 결과를 부등식 (4)에 대입하면 부등식 (4)는 다음과 같다.$\displaystyle k\left(\frac ml\right)^{n-1}\geq\frac{k\left(\frac ml\right)^n}{1-\frac ml}\qquad(6)$부등식 (6)을 간략히 하면$\displaystyle 1\geq\frac{\frac ml}{1-\frac ml}\qquad(7)$이므로 부등식 (7)은 $\displaystyle 1-\frac ml\geq\frac ml$이 되고 이를 정리하면 $\displaystyle 2\frac ml\leq1$로$\displaystyle \frac ml\leq\frac12\qquad(8)$이다. 따라서 부등식 (3)과 (8)에 의하면$\displaystyle 0<\frac ml\leq\frac12\qquad(9)$이면 제시문 (4)에 설명한 성공의 조건이 된다. 한편, 제시문 (1)에서 추출될 수 있는 $\displaystyle l$의 결과는 1, 2, 3, 4, 5, 6이고 각 결과들이 추출될 확률은 $\displaystyle \frac16$로 동일하다. 제시문 (2)에서 추출될 수 있는 $\displaystyle m$의 결과는 1, 2, 3이고 각 결과들이 추출될 확률은 $\displaystyle \frac13$로 동일하다. 그러므로 추출 가능한 순서쌍 $\displaystyle (l,m)$의 개수는 $\displaystyle 6\times3=18$개이며 각각의 순서쌍이 나올 확률은 $\displaystyle \frac1{18}$로 동일하다. 성공의 조건 (9)를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (l,m)$은 가능한 순서쌍 18개 중 다음과 같이 9개이다.$\displaystyle (2,1),\ (3,1),\ (4,1),\ (4,2),\ (5,1),\ (5,2),\ (6,1),\ (6,2),\ (6,3)\qquad(10)$그러므로 (4)에 설명한 성공의 확률은 $\displaystyle \frac12$이다.

【문제 2-2】(5)에서 설명한 반복 시행에서 실패한 시행의 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하자. 성공을 “○”라 하고 실패를 “×”라 표시하면 $\displaystyle X$가 갖는 값은 다음과 같이 0, 1, 2, 3, 4이다.① 두 번의 반복 시행만 했을 경우는 “○○”로 실패가 없으므로 $\displaystyle X=0$이다.② 세 번의 반복 시행만 했을 경우는 첫 두 번의 반복 시행 중에서 한 번 성공하고 세 번째에서 성공하는 경우로 “○×○”, “×○○”이므로 $\displaystyle X=1$이다.③ 네 번의 반복 시행까지 했을 경우는 다음과 같다.- 두 번 성공한 경우는 “○××○”, “×○×○”, “××○○”이므로 $\displaystyle X=2$이다.- 한 번 성공한 경우는 “○×××”, “×○××”, “××○×”, “×××○”이므로 $\displaystyle X=3$이다.- 한 번도 성공하지 못한 경우는 “××××”이므로 $\displaystyle X=4$이다.그러므로 [문제 2-1]에서 구한 성공의 확률이 $\displaystyle \frac12$이고 각 반복 시행들이 독립시행이므로 $\displaystyle X$가 갖는 값에 대한 각각의 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)&=\left(\frac12\right)^2=\frac14,\\\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)&={}_2\mathrm{C}_1\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^1\times\left(\frac12\right)=2\times\left(\frac12\right)^3=\frac28=\frac14,\\\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)&={}_3\mathrm{C}_2\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^1\times\left(\frac12\right)=3\times\left(\frac12\right)^4=\frac3{16},\\\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)&={}_4\mathrm{C}_3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^1=4\times\left(\frac12\right)^4=\frac4{16}=\frac14,\\\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)&={}_4\mathrm{C}_4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^0=\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}.\end{aligned}\qquad(11)$그러므로 $\displaystyle X$의 확률분포는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline X&0&1&2&3&4&\text{합계}\\\hline\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{x})&\frac14&\frac14&\frac3{16}&\frac14&\frac1{16}&1\\\hline\end{array}$

【문제 2-3】(5)에서 설명한 반복 시행에서 시행의 횟수를 확률변수 $\displaystyle Y$라 하자. (5)의 설명에 의하면 $\displaystyle Y$가 갖는 값은$\displaystyle 2,\ 3,\ 4\qquad(12)$임이 자명하다. $\displaystyle Y$는 반복 시행의 횟수이고, $\displaystyle X$는 그 시행 중 실패한 횟수이므로 두 확률변수들의 관계와 [문제 2-2]에서 구한 $\displaystyle X$의 확률분포를 이용하면 $\displaystyle Y$가 갖는 값의 확률들은 다음과 같다.① $\displaystyle Y=2$인 경우는 $\displaystyle X=0$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{Y}=2)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac14$이다.② $\displaystyle Y=3$인 경우는 $\displaystyle X=1$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{Y}=3)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=\frac14$이다.③ $\displaystyle Y=4$인 경우는 $\displaystyle X=2,3,4$이므로$\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{Y}=4)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)=\frac3{16}+\frac14+\frac1{16}=\frac8{16}=\frac12$이다.그러므로 $\displaystyle Y$의 확률분포는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\hline Y&2&3&4&\text{합계}\\\hline\mathrm{P}(\mathrm{Y}=\mathrm{y})&\frac14&\frac14&\frac12&1\\\hline\end{array}$한편, 4번까지 반복 시행할 사건을 $\displaystyle A$라 하고 성공이 한 번일 사건을 $\displaystyle B$라 하면 $\displaystyle A\cap B$는 4번 시행 중 성공이 한 번(실패가 세 번)일 사건이다. $\displaystyle A$의 확률은 $\displaystyle Y$의 확률분포에 의하면 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}(\mathrm{Y}=4)$이고 $\displaystyle X$의 확률분포에 의하면 [문제 2-2]의 풀이의 ③에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)$이다. 그리고 $\displaystyle A\cap B$의 확률은 $\displaystyle X$의 확률분포에 의하면 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)$이다. 그러므로 사건 $\displaystyle A$가 일어났을 때 사건 $\displaystyle B$가 일어날 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{B}\mid\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)}{\mathrm{P}(\mathrm{Y}=4)}=\frac{\frac14}{\frac12}=\frac12\qquad(13)$혹은$\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{B}\mid\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap\mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)}{\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)}=\frac{\frac14}{\frac12}=\frac12\qquad(14)$